axb Orthonormalbasis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Di 14.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | Seien a,b ein Orthonormalsystem in [mm] \IR^3
[/mm]
Z.Z: [mm] a,b,a\times{b} [/mm] Orthonormalbasis von [mm] \IR^3 [/mm] |
Genügt es lediglich zu zeigen, dass [mm] a\times{b} [/mm] Norm 1 hat, oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] eine Basis im [mm] \IR^3 [/mm] ist ??
|
|
| |
|
> Seien a,b ein Orthonormalsystem in [mm]\IR^3[/mm]
>
> Z.Z: [mm]a,b,a\times{b}[/mm] Orthonormalbasis von [mm]\IR^3[/mm]
> Genügt es lediglich zu zeigen, dass [mm]a\times{b}[/mm] Norm 1
> hat, oder muss ich auch noch zeigen, dass [mm](a,b,a\times{b})[/mm]
> eine Basis im [mm]\IR^3[/mm] ist ??
Hallo,
ich find's schwer, auf Deine Frage zu antworten, denn wir wissen ja nicht, was schon alles dran war.
Prinzipiell müßte man schon noch zeigen, daß [mm] (a,b,a\times [/mm] b) linear unabhängig ist - aber vielleicht habt Ihr auch schon einen Satz, der Euch sagt, daß das der Fall ist.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Di 14.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Gut, also ich denke es wurde noch nicht gezeigt, dass [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] eine Basis im [mm] R^3 [/mm] bildet, dann versuche ich es jetzt.
Ich bin mir jedoch bei der Herangehensweise etwas unsicher, auf welche Art und Weise ist es eleganter:
(1) Direkt zu zeigen, dass a,b linear unabhängig ist genau dann wenn [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear unabhängig ist
(2) Ich zeige zuerst, dass [mm] a\times{b}=0 [/mm] <=> a,b linear abhängig, dann [mm] det(a,b,c)= [/mm] und => Sind a,b linear unabhängig, dann ist [mm] a,b,a\times{b} [/mm] eine pos. orientierte Basis des [mm] R^3
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
zeigen willst Du ja
a,b orthonormal ==> [mm] (a,b,a\times [/mm] b) ist linear unabhängig.
Seien also a,b orthonormal und sei
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b [mm] +\nu (a\times [/mm] b)=0.
Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß die Griechen =0 sind.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 14.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Da a,b ja senkrecht aufeinander stehen sind sie linear unabhängig, ich zeige jetzt also
a,b linear. unab <=> [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear unabhängig
Dies ist ja dasselbe wie: a,b linear abh. <=> [mm] a,b,a\times{b} [/mm] linear abh.
=> Ist klar, da a,b immer noch linear abh. sind.
<=: [mm] \exists\lambda\in\IR^3\backslash(0,0,0): \lambda_{1}a+\lambda_{2}b+\lambda_{3}a\times{b}=0
[/mm]
=> [mm] \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0
[/mm]
=> [mm] \lambda_{3}\|a\times{b}\|^2=0 =>\lambda_{3}\|a\times{b}\|=0
[/mm]
1) [mm] \|a\times{b}\|=0 [/mm] => [mm] a\times{b}=0 [/mm] => [mm] a,b,a\times{b} [/mm] lin. abh.
2) [mm] \lambda_{3}=0 [/mm] => a,b lin. abh.
Passt das so?
@Teufel, hast du irgendwo einen Beweis dieser Behauptung, dass drei orthogonale Vektoren mit Ausnahme des 0-Vektors immer linear unabhängig sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 14.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Das gilt sogar für beliebig viele Vektoren.
Seien [mm] $(v_1, \ldots, v_n)$ [/mm] orthogonal und seien alle [mm] v_i \not=0, [/mm] d.h. [mm] $\left=0$ [/mm] für alle [mm] $i\not= [/mm] j$ und [mm] $\left>0$.
[/mm]
Sei nun [mm] \alpha_1v_1+\ldots +\alpha_nv_n=0. [/mm] Zu zeigen: [mm] \alpha_1=\ldots =\alpha_n=0.
[/mm]
Ansatz:
Für alle i gilt [mm] 0=\left<0, v_i\right>=\left<\alpha_1v_1+\ldots +\alpha_nv_n, v_i\right>=\ldots [/mm] = [mm] \alpha_i\left. [/mm] Den Rest siehst du sicher. :)
Du musst für deinen Fall allerdings noch zeigen, dass [mm] $(a,b,a\times [/mm] b)$ wirklich orthogonal sind, was im Prinzip die Eigenschaft ist, die das Kreuzprodukt erfüllen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Di 14.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Hast du dich in deiner letzten Zeile auf meinen Beweis bezogen oder deinen?
Die Orthogonalität von [mm] (a,b,a\times{b}) [/mm] wird doch damit, gezeigt, dass
[mm] \|a\times{b}\|=\|a\|*\|b\|*sin(\phi)=1*1*1=1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 14.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hast du dich in deiner letzten Zeile auf meinen Beweis
> bezogen oder deinen?
>
> Die Orthogonalität von [mm](a,b,a\times{b})[/mm] wird doch damit,
> gezeigt, dass
>
> [mm]\|a\times{b}\|=\|a\|*\|b\|*sin(\phi)=1*1*1=1[/mm]
Damit hast Du nur gezeigt, dass [mm] $a\times{b}$ [/mm] normiert ist.
Orthogonalität von [mm](a,b,a\times{b})[/mm] bedeutet, dass diese 3 Vektoren paarweise senkrecht zueinander sind.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 14.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Also muss ich für die Orthogonalität, jeden Fall untersuchen
1) <a,b>=0
2) [mm] =0
[/mm]
3) [mm] =0
[/mm]
4) [mm] =0
[/mm]
Angenommen ich definiere die Matrix [mm] A=(a|b|a\times{b}), [/mm] wäre damit auch die Orthogonalität der Matrix gezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also muss ich für die Orthogonalität, jeden Fall
> untersuchen
> 1) <a,b>=0
das musst Du nicht untersuchen, das folgt aus der Voraussetzung - und "geometrisch/anschaulich" wegen [mm] $=\|a\|\,*\,\|b\|\,*\, \cos(\gamma)\,,$ [/mm] wenn [mm] $\gamma$ [/mm] der Winkel "zwischen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$" [/mm] ist. (Nach Voraussetzung ist hier [mm] $\gamma=\pi/2$ [/mm] (BOGENMAß!!) und damit [mm] $\cos(\gamma)=\cos(\pi/2)=0\,.$)
[/mm]
> 2) [mm]=0[/mm]
Das wäre zu beweisen, wenn es noch nicht getan wurde. Tipp:
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Spatprodukt!
> 3) [mm]=0[/mm]
Das ist Unsinn: [mm] $=\|v\|^2$ [/mm] gilt für jeden Vektor $v [mm] \in \IR^3\,.$ [/mm] Du würdest so also beweisen wollen, dass $a [mm] \times [/mm] b=0 [mm] \in \IR^3\,.$
[/mm]
> 4) [mm]=0[/mm]
Auch das ist nachzurechnen!
> Angenommen ich definiere die Matrix [mm]A=(a|b|a\times{b}),[/mm]
> wäre damit auch die Orthogonalität der Matrix gezeigt?
Mit einer Definition willst Du was zeigen? Ne, sicher nicht. Du kannst diese Matrix definieren - und wenn Du zeigst, dass ihre Determinante UNGLEICH [mm] $0\,$ [/mm] ist, dann weißt Du, dass die Vektoren [mm] $a,\,b,\,a \times [/mm] b$ linear unabhängig sind. Mehr aber nicht.
Also, zusammenfassend:
1.) Was wissen wir nach Voraussetzung? Wir wissen
[mm] $$\|a\|=\|b\|=1\,,$$
[/mm]
oder gleichwertig (wegen [mm] $\|v\|=\sqrt{}$ [/mm] und [mm] $r^2=1 \gdw [/mm] r=1$ für $r [mm] \ge [/mm] 0$)
[mm] $$==1\,.$$
[/mm]
Zudem wissen wir [mm] $=0\,.$
[/mm]
2.) Was wollen wir insgesamt nachrechnen?
a) [mm] $=1\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
b) [mm] $=1\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
c) $<a [mm] \times b,\,a \times [/mm] b>=1$ (NACHRECHNEN!)
d) [mm] $=0\,.$ [/mm] (Bereits bekannt!)
e) [mm] $=0\,. [/mm] $ (NACHRECHNEN!)
f) [mm] $=0\,. [/mm] $ (NACHRECHNEN!)
Was wissen wir dann? Wegen a), b), c) enthält die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ nur Vektoren der Länge 1.
Wegen d), e), f) stehen die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander. Also bildet die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ ein Orthonormalsystem des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
Wie Teufel erwähnte, und das ist wirklich leicht nachzurechnen mit seinem Tipp, ist die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ damit auch schon automatisch linear unabhängig - aber wenn Du Spaß dran hast, kannst du das auch nachrechnen, indem Du zeigst, dass die MATRIX
[mm] $$A:=(a\,|\,b\,|\,a \times [/mm] b)$$
(im Gegensatz zur Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ stehen in der Matrix eigentlich nur die Einträge der entsprechenden Vektoren, also deren "Koordinaten")
erfüllt
[mm] $$\det [/mm] A [mm] \not=0\,.$$
[/mm]
Kann man machen, muss man aber nicht, insbesondere dann nicht, wenn man Teufels vorschlag beherzigt!
Weil [mm] $\dim \IR^3=3$ [/mm] ist, enthält die Familie [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Damit ist [mm] $(a,\,b,\,a \times [/mm] b)$ auch eine Basis.
P.S.
Achja, aus a),b),c) folgt insbesondere, dass $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] $b [mm] \not=0$ [/mm] und $a [mm] \times [/mm] b [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 14.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß
> die Griechen =0 sind.
Hallo Angela,
treffen wir uns mal zum griechisch Grillen? Also ohne Kohle!
Gruß FRED
>
> LG Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:06 Mi 15.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Jetzt mußt Du "irgendwie" zeigen, wie hieraus folgt, daß
> > die Griechen =0 sind.
>
> Hallo Angela,
>
> treffen wir uns mal zum griechisch Grillen? Also ohne
> Kohle!
irgendwie sind wir doch alle abgebrannt ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 14.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt der Satz, dass eine Familie orthogonaler Vektoren, die den Nullvektor nicht enthält, auch stets linear unabhängig ist. Wenn du das benutzen darfst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Di 14.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
>
> Es gilt der Satz, dass eine Familie orthogonaler Vektoren
> auch stets linear unabhängig ist.
Das stimmt nicht ! Wenn in dieser Familie der Nullvektor enthalten ist ....
Richtig wirds, wenn man "orthogonal" gegen "orthonormal" austauscht.
FRED
> Wenn du das benutzen
> darfst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 14.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Danke, berichtigt!
|
|
|
|
