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hallo,
ich habe eine Aufgabe mit einem Motorrad, welches die Masse m=350 kg inkl. Fahrer hat, aus dem Stand beschleunigt. die Beschleunigung sei als funktion von a(t)= [mm] a_0(1-e^{\bruch{-t}{\tau}}) [/mm] festgelegt
mit [mm] a_0=5,0m/s^2 [/mm] und [mm] \tau=3,5 [/mm] s
1.) gesucht wird die Geschwindigkeit nach 10 s?
ok -> v(t)= [mm] \integral a_0(1-e^{\bruch{-t}{\tau}}) [/mm] dt
->substitution = [mm] -\tau
[/mm]
[mm] v(t)=5m/s^2[\tau*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\tau [/mm] +10s]
v(t)=33,5 m/s
2.) gesucht wird der weg der in dieser zeit zurückgelegt wird:
ok->
[mm] s(t)=5m/s^2\integral(\tau*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\tau)
[/mm]
->substitution [mm] =-\tau
[/mm]
[mm] s(t)=5m/s^2[-(\tau)^2*e^{\bruch{-t}{\tau}}-10\tau+33,5 [/mm] m/s]
s(t)=50 m -> ? unrealistisch
??
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Hallo,
du hast lediglich ein Vorzeichen vertauscht:
[mm] \integral a_0(1-e^{\bruch{-t}{\tau}})=a_0*t+a_0*\tau*e^{\bruch{-t}
{\tau}}
[/mm]
[mm] s(t)=5m/s^2\integral(\tau\cdot{}e^{\bruch{-t}{\tau}}+t)=a_0*t^2-a_0*\tau^2*e^{\bruch{-t}{\tau}}
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> hallo,
>
> ich habe eine Aufgabe mit einem Motorrad, welches die Masse
> m=350 kg inkl. Fahrer hat, aus dem Stand beschleunigt. die
> Beschleunigung sei als funktion von a(t)=
> [mm]a_0(1-e^{\bruch{-t}{\tau}})[/mm] festgelegt
Das ergibt eine halbwegs realistische *Geschwindigkeits*kurve, aber als Beschleunigung macht das wenig Sinn. Wieso sollte die Beschleunigung asymptotisch gegen [mm] $a_0$ [/mm] gehen? Außer Du fällst im Vakuum passiert das selten.
Sicher, daß das nicht [mm] $a_0e^{-\frac{t}{\tau}}$ [/mm] ist? Dann wäre das oben die Geschwindigkeit.
ciao
Stefan
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hallo blech,
ja die angabe stimmt, [mm] a_0=5m/s^2 [/mm] , zeitraum t= 10 s
[mm] a_(t)=a_0(1-e^{\bruch{-t}{\tau}})
[/mm]
es ist nun mal die angabe, mein eigentliches problem ist die integration eines solchen gebildes.
ich habe nun das vorzeichen geändert
und bekomme dann
[mm] v(t)=5m/s^2\integral \tau*e^{\bruch{-t}{\tau}}-\tau+10s
[/mm]
wie muss ich da exact vorgehen,
also bilde die substitution durch ableiten von [mm] (\bruch{-t}{\tau} [/mm] und erhalte dann [mm] x=-\tau
[/mm]
und dies verrechne ich jetzt doch mit dem rest und addiere weil ich ein unbestimmtes intregal habe + 33,5 m/s ich setze um:
also
s(t)= 5 [mm] m/s[-(\tau)*e^{\bruch{-t}{\tau}}+10*\tau+33,5m/s]
[/mm]
s(t)= 400 m
meine frage ist meine vorgehensweise so richtig, habe integration durch
substitution in der schule noch nie gehabt,
zweite frage ist das ergebnis richtig
vielen dank martina
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Hallo,
zwar sind deine Ergebnisse schöner als meine, aber leider hast du nicht ganz verstanden, wie die Integration zum Ergebnis führt.
Zuerst einmal zur Integration durch Substitution: man hat eine Gleichung [mm] y=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm] in dieser wird x zu g(z) substituiert. dabei wird jedes x in f(x) zu g(z), [mm] x\to [/mm] g(z) [mm] \equiv\integral{1 dx}\to\integral{g'(z) dz}.
[/mm]
Auslassen der Integration (Rechenschritt, bei der infinitesimal kleine Strecken dx summiert werden), ergibt [mm] dx\to [/mm] g'(z)dz.
Daher [mm] \integral{f(x) dx}\to\integral{f(g(z))*g'(z)*dz}
[/mm]
Das Ergebnis wird dann zurücksubstituiert, g(z) sollte daher möglichst bijektiv sein!
Nun hast du für jeden Zeitpunkt t gegeben: [mm] a(t)=a_0(1-e^{-\bruch{t}{\tau}})=a_0-a_0e^{-\bruch{t}{\tau}}=v'(t)
[/mm]
[mm] v(t)=\integral{a(t)}=A(t)+c..... [/mm] c ist die Anfangsgeschwindigkeit!, also darfst du die 10s noch nicht einsetzen!
Erst können wir [mm] a_0*dt [/mm] integrieren, dann den Rest, da substituieren wir: [mm] t\to-\tau*z, dt\to-\tau*1*dz
[/mm]
[mm] v(t)=a_0*t+\integral{-a_0*\tau*e^{z}dz}
[/mm]
[mm] v(t)=a_0*t-a_0*\tau*e^{z}, [/mm] Rücksubstitution [mm] z\to-\bruch{t}{\tau}, [/mm] denn [mm] t\to-\tau*z\to\bruch{-\tau}{-\tau}*t=t
[/mm]
Du erhältst [mm] v(t)=a_0*t-a_0*\tau*e^{-\bruch{t}{\tau}}
[/mm]
Setzt die Integrationsgrenzen ein und kommst auf 33.5 m/s,
die Streckenlänge beträgt 307.73 m
lg
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vielen dank,
hast mir wirklich weiter gehofen habs jetzt verstanden
lg
martina
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