aufgabe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz. wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die richtige richtung geben könntet:
Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 06.05.2004 | | Autor: | orges |
Hallo Christian
> ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz.
> wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die
> richtige richtung geben könntet:
>
>
> Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer
> gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear
> unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
> A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)
>
Du erzeugst dir eine Ebenengleichung zum Beispiel mit dem Namen E, in dem du
zunächst nur drei Punkte (z.B. A,B,C) betrachtest und aus dieser dir die Gleichung der Ebene verschaffst.
Der Ansatz lautet dann : (unterstrichene Buchstaben sollen Vektoren darstellen)
E : x = a + k(b - a) + l(c - a) mit k, l [mm] \in \IR
[/mm]
Wobei a = 0A , b = 0B und c = 0C sind.
Mit dieser Ebene E in Parameterform kannst du folgendes machen:
1. Entweder du verschaffst dir die dazugehörige Normalenform der
Ebene und setzt dann den Punkt D in die Ebenengleichung ein, um
zu überprüfen, ob er in der Ebene liegt, oder
2. du setzt für x den Vektor d = 0D in die Parameterform der
Ebene ein , um zu überprüfen , ob D in E liegt.
Dabei stößt du auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (k und l) und drei Gleichungen.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
Ansonsten frag nochmal nach
Orges
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christian,
herzlich willkommen im MatheRaum! Schön, dass du hierher gefunden hast 
> ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz.
> wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die
> richtige richtung geben könntet:
>
>
> Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer
> gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear
> unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
> A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)
Das kann nicht sein, ich denke, du hast dich da beim Abtippen vertan. Es müßte entweder heißen:
"Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear abhängig sind."
oder
"Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann nicht in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear abhängig sind."
Schaue das bitte nochmal nach.
Da du wahrscheinlich noch keine Ebenen hattest (oder doch?), wollte ich ein Lösung ohne Ebenen anbieten.
Eigentlich steht schon der Lösungsweg in der Aufgabe:
Du bildest zunächst die drei Vektoren AB, AC und AD.
AB ist zum Beispiel der Vektor, der vom A zum Punkt B zeigt; er wird rechnerisch durch die Differenz der Ortsvektoren von A und B, also [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$, [/mm] ermittelt:
[mm] $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
[/mm]
Mit [mm] $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-1 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ [/mm] folgt so:
[mm] $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}$
[/mm]
(Wird dieser Vektor als Verschiebung aufgefasst, so bedeutet das, dass der Punkt A durch den Vektor [mm] $\vec{AB}$ [/mm] auf den Punkt B abgebildet wird.)
Das gleiche machst du nun für die anderen beiden Vektoren:
[mm] $\vec{AC}=\ldots$
[/mm]
[mm] $\vec{AD}=\ldots$
[/mm]
So, jetzt haben wir (bzw. du  ) die im Tipp der Aufgabenstellung erwähnten Vektoren aufgestellt
Im Tipp steht weiterhin, dass die Punkte in einer Ebene liegen, wenn diese drei Vektoren linear abhängig sind.
Weißt du, wie man die lineare Abhängigkeit von Vektoren nachweist?
Falls nicht, frage bitte nach.
Ich werde es aber gleich ohnehin nachliefern, ich schicke diese Antwort aber bereits jetzt ab, da es ja schon spät ist und ich nicht weiß, wie lange du noch online bist.
Alles Gute und bis gleich,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christian,
jetzt noch zum Nachweis der linearen (Un-) Abhängigkeit.
Es gibt zwei äquivalente Definitionen bzw. Kriterien zum Nachweis der Linearen Abhängigkeit; beide benutzen den Begriff der Linearkombination, den ich jetzt mal als bekannt voraussetze; frage nach, falls das bei dir nicht der Fall sein sollte
Gleich vorneweg: Das zweite Kriterium ist wichtiger, das erste ist aber vielleicht besser zu verstehen.
Also:
n Vektoren [mm] $\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n$ [/mm] heißen linear abhängig, wenn einer der n Vektoren als Linearkombination der anderen n-1 Vektoren darstellbar ist.
Formal also wenn es n-1 Zahlen [mm] $r_1,\ldots,r_{n-1}\in\IR$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $\vec{a}_n=r_1*\vec{a}_1+\ldots+r_{n-1}*\vec{a}_{n-1}$
[/mm]
gilt.
Beispiel mit drei Vektoren:
Drei Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] gibt, so dass
[mm] $\vec{a}=\lambda*\vec{b}+\mu*\vec{c}$
[/mm]
Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind
Nun die wichtigere Definition:
n Vektoren [mm] $\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n$ [/mm] heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur durch die "triviale" Linearkombination aus diesen n Vektoren darstellbar ist.
Formal also:
[mm] $\vec{0}=r_1*\vec{a}_1+\ldots+r_{n}*\vec{a}_{n}$
[/mm]
gilt nur für [mm] $r_1=\ldots=r_n=0$
[/mm]
Beispiel mit drei Vektoren:
Drei Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung
[mm] $\vec{0}=\lambda*\vec{a}+\mu*\vec{b}+\nu\vec{c}$
[/mm]
als einzige Lösung [mm] $\lambda=0, \mu=0, \nu=0$ [/mm] hat.
Das mußt du also mit deinen drei Vektoren überprüfen.
Schaffst du das? Falls nicht frage bitte nach
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
also muss ich dann:
r1 [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] + r2...
rechnen, und wenn es dann noch eine andere Lösung gibt als (0;0;09, dann sind die vektoren abhängig, liegen also in einer Ebene?!
(es muss wirklich "abhängig" heißen in der aufgabe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christian,
A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)
die drei Vektoren lauten:
[mm] \vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{AC}=\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\8 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{AD}=\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt stellst du die angesprochene Linearkombination auf:
[mm] $r*\vec{AB}+s*\vec{AC}+t*\vec{AD}=\vec{0}$
[/mm]
[mm] $r*\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\8 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \end{pmatrix}=\vec{0}$
[/mm]
Daraus kannst du nun ein lineares Gleichungssystem (LGS) bauen (siehe die Komponenten der Vektoren):
3r - 3s + 2t = 0
3r -2s - t = 0
-2r +8s +3t = 0
Nun ist also zu zeigen, dass dieses lineare Gleichungssystem als einzige Lösung r = s = t = 0 besitzt (dann sind die Vektoren linear unabhängig).
Findest du aber für diese LGS eine weitere, von der trivialen Lösung verschiedene Lösung, dann sind die Vektoren linear abhängig (und die Punkte liegen in einer Ebene).
War das einigermaßen verständlich? Falls nicht, nachfragen
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Fr 07.05.2004 | | Autor: | ChristianH |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe gestern Nacht!!
|
|
|
|
