assoziierte Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:08 Di 02.02.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Seien [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] die ganzen Gaußschen Zahlen, also genau die komplexen Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil.
Bestimmen Sie alle Elemente [mm] z\in \mathbb{Z}[i], [/mm] für die z und -z assoziiert sind. |
Hallo,
irgendwie komme ich mit der Aufgabenstellung nicht ganz zurecht.
Elemente z und z' sind assoziiert, wenn es ein [mm] \epsilon [/mm] invertierbar gibt, mit [mm] z=\epsilon [/mm] z'.
Wenn ich jetzt alle assoziierten Elemente zu z und -z bestimmen müsste, dann wüsste ich was ich machen muss. Aber hier muss ich es ja praktisch umgekehrt machen.
Es soll also gelten [mm] z=\epsilon_1 [/mm] z und [mm] z=\epsilon_2 [/mm] (-z).
z ist immer zu sich selbst invers. Ich kann doch aber andererseits dann [mm] \epsilon_2=(-1) [/mm] setzen und dann ist doch auch -z zu z invers, aber dann wären das doch irgendwie alle [mm] z\in \mathbb{Z}[i]. [/mm]
Wie ist die Aufgabe zu verstehen und wie zu bearbeiten?
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Hallo,
Du schreibst richtig:
>Elemente z und z' sind assoziiert, wenn es ein $ [mm] \epsilon [/mm] $ invertierbar gibt, mit $ [mm] z=\epsilon [/mm] $ z'.
> Wenn ich jetzt alle assoziierten Elemente zu z und -z bestimmen müsste, dann wüsste ich was ich machen muss.
Mach's doch mal. Welches sind die zu z assoziierten Elemente?
> Es soll also gelten $ [mm] z=\epsilon_1 [/mm] $ z und $ [mm] z=\epsilon_2 [/mm] $ (-z).
Wo hast Du die erste Bedingung her? Der Aufgabenstellung ist sie nicht zu entnehmen - aber sie gilt natürlich immer, wenn wir eine 1 haben.
> z ist immer zu sich selbst invers
Quatsch. Vermutlich meinst Du assoziiert, und es gilt
> aber dann wären das doch irgendwie alle $ [mm] z\in \mathbb{Z}[i]. [/mm] $
Ja. Und? Warum sollte die Antwort nicht "alle" lauten?
> Wie ist die Aufgabe zu verstehen und wie zu bearbeiten?
So wie Du es getan hast. Mit der -1 hast Du das richtige Argument gebracht.
Gruß v. Angela
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