arctan(1/x) = arccot(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 14.01.2007 | | Autor: | marklose |
| Aufgabe | | Beweis von: [mm] arctan(\bruch{1}{x}) [/mm] = arccot(x) |
Hallo zusammen!
Im Zusammenhang mit dem Differenzieren suche ich den Beweis für obige Formel. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Beides einfach mal differenzieren, was fällt dir auf?
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Ohne Zusatzbedingungen ist die Formel falsch. Richtig ist
[mm]\operatorname{arccot}{x} = \begin{cases} \pi + \arctan{\frac{1}{x}} & \mbox{für} \ x < 0 \\ \frac{\pi}{2} & \mbox{für} \ x = 0 \\ \arctan{\frac{1}{x}} & \mbox{für} \ x > 0 \end{cases}[/mm]
Ein Beweis ohne Differentialrechnung fußt auf der Beziehung
[mm]\cot{y} = \frac{\cos{y}}{\sin{y}} = \frac{1}{\frac{\sin{y}}{\cos{y}}} = \frac{1}{\tan{y}}[/mm] für [mm]y \in \left( 0 \, , \, \pi \right)[/mm]
wobei die rechte Seite für [mm]y = \frac{\pi}{2}[/mm] im Sinne eines Grenzwertes zu verstehen ist. Da der Betrag des Tangens für [mm]y \to \frac{\pi}{2}[/mm] über alle Grenzen wächst, strebt der Kehrwert gegen 0.
Löse die Gleichung [mm]x = \cot{y} = \frac{1}{\tan{y}}[/mm] einmal mit der ersten Formel [mm]x = \cot{y}[/mm] (unproblematisch), einmal mit der zweiten Formel [mm]x = \frac{1}{\tan{y}}[/mm] (problematisch) nach [mm]y[/mm] auf. Behandle zunächst den einfacheren Fall [mm]y \in \left( 0 \, , \, \frac{\pi}{2} \right)[/mm]. Behandle dann den schwierigeren Fall [mm]y \in \left( \frac{\pi}{2} \, , \, \pi \right)[/mm]. Beachte, daß für solche [mm]y[/mm] die übliche Definition des Arcustangens den Tangens nicht umkehrt. Wenn du allerdings die [mm]\pi[/mm]-Periodizität des Tangens verwendest, kannst du [mm]\tan{y} = \tan{\left( y - \pi \right)}[/mm] schreiben. Dann liegt [mm]y - \pi[/mm] im Intervall [mm]\left( - \frac{\pi}{2} \, , \, 0 \right)[/mm], und dort kehrt der Arcustangens den Tangens um.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Mo 15.01.2007 | | Autor: | marklose |
Vielen Dank schon mal dafür. Ich denke mal, dass ich damit einigermaßen weiterkomme.
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