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Forum "Integration" - arcsin(x),partiell integrieren
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arcsin(x),partiell integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 25.03.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
[mm] \integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm]

(arcsinx)' = [mm] \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm]
[mm] \integral{\frac{\phi(x) * x}{\phi'(x)} dx} [/mm] brachte mich nicht weiter


Partielle Integration.
Ich muss eine Stammfunktion kennen.
[mm] \integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]
substituiere [mm] t=1-x^2 [/mm]
dt=-2x dx

= -1/2 [mm] \integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt} [/mm] = -1/2 [mm] \integral [/mm] { [mm] t^{1/2} [/mm] dt} = -1/2 [mm] *\frac{ 2t^{3/2}}{3}=-\frac{\wurzel{t^3}}{3} [/mm] = [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]

Partielle Integration:
[mm] \integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] =
[mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]  * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]
= [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]  * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^2}}{3} dx} [/mm]
= [mm] -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]  * arcsin(x) - [mm] \integral {-\frac{1-x^2}{3} dx} [/mm]
[mm] =-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} [/mm]  * arcsin(x) +1/3 - [mm] \frac{x^3}{9} [/mm]


Ich wäre sehr froh, wenn mir das wer korrigiert! War meine zweite partielle Integration, also gnädig sein ;)

        
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 25.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> [mm]\integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm]
>  (arcsinx)'
> = [mm]\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>   [mm]\integral{\frac{\phi(x) * x}{\phi'(x)} dx}[/mm] brachte mich
> nicht weiter
>  
>
> Partielle Integration.
>  Ich muss eine Stammfunktion kennen.
>  [mm]\integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>  substituiere
> [mm]t=1-x^2[/mm]
>  dt=-2x dx
>  
> = -1/2 [mm]\integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt}[/mm] = -1/2 [mm]\integral[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> { [mm]t^{1/2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

dt} = -1/2 [mm]*\frac{ 2t^{3/2}}{3}=-\frac{\wurzel{t^3}}{3}[/mm]


Hier hast Du ein Vorzeichen vergessen:

[mm]-1/2 \integral {\frac{1}{\wurzel{t}} dt} = -1/2 \integral{ t^{\blue{-}1/2} dt}[/mm]


> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]
>
> Partielle Integration:
>  [mm]\integral{arcsinx * \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm] =
> [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]  * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3} * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>  


Es ist

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}} \ dx} \not= -\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]


> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]  * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{\wurzel{(1-x^2)^2}}{3} dx}[/mm]
>  
> = [mm]-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]  * arcsin(x) - [mm]\integral {-\frac{1-x^2}{3} dx}[/mm]
>  
> [mm]=-\frac{\wurzel{(1-x^2)^3}}{3}[/mm]  * arcsin(x) +1/3 -
> [mm]\frac{x^3}{9}[/mm]
>  
>
> Ich wäre sehr froh, wenn mir das wer korrigiert! War meine
> zweite partielle Integration, also gnädig sein ;)


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 So 25.03.2012
Autor: Lu-

danke **

[mm] \integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}= [/mm]
...
-1/2 * [mm] \integral{t^{-\frac{1}{2}} dt} [/mm] = -1/2 * [mm] \frac{2t^{\frac{1}{2}}}{1} [/mm] = [mm] -t^{\frac{1}{2}} [/mm] = - [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm]

Partielle Integration:
[mm] \integral{arcsinx \cdot{} \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] =
- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x) - [mm] \integral {-\wurzel{1-x^2}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]
=- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x) - [mm] \integral{ -1 dx} [/mm]
=- [mm] \wurzel{1-x^2}* [/mm] arcsin(x)+x
Passt es so?




Als Zweitaufgabe:
[mm] \integral{(arcsinx)^2dx} [/mm]
Das soll mit dem vorigen Bsp gelöst werden
Partielle Inegration mit einem Einser
= x* arcsin(x) - [mm] \integral{\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]
Wie kann ich nun das Bsp nutzen um das Integral auszurechnen? Weil um den arcsin(x) unterscheidet es sich ja

Bezug
                        
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 So 25.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> danke **
>  
> [mm]\integral {\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}=[/mm]
>  ...
>  -1/2 * [mm]\integral{t^{-\frac{1}{2}} dt}[/mm] = -1/2 *
> [mm]\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{1}[/mm] = [mm]-t^{\frac{1}{2}}[/mm] = -
> [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm]
>  
> Partielle Integration:
>  [mm]\integral{arcsinx \cdot{} \frac{x}{\wurzel{1-x^2}}dx}[/mm] =
>  - [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x) - [mm]\integral {-\wurzel{1-x^2}\frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
> =- [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x) - [mm]\integral{ -1 dx}[/mm]
> =- [mm]\wurzel{1-x^2}*[/mm] arcsin(x)+x
>  Passt es so?
>  


Ja, das passt so. [ok]


>
>
>
> Als Zweitaufgabe:
>  [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}[/mm]
>  Das soll mit dem vorigen Bsp gelöst werden
>  Partielle Inegration mit einem Einser
>  = x* arcsin(x) - [mm]\integral{\frac{x}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>  


Bedenke daß hier steht:

[mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x*\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} - \integral{x*\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx}[/mm]

Das rechtsstehende Integral sollte Dir bekannt vorkommen.


> Wie kann ich nun das Bsp nutzen um das Integral
> auszurechnen? Weil um den arcsin(x) unterscheidet es sich
> ja


Gruss
MathePower

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arcsin(x),partiell integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 So 25.03.2012
Autor: Lu-

Danke schonmal


> $ [mm] \integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} [/mm] - [mm] \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx} [/mm] $

[mm] ((arcsin(x))^2)' [/mm] = 2 arcsin(x)

= x * [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] - [mm] \integral{x*2arcsin(x) dx} [/mm]
=x * (arcsin [mm] (x))^2 [/mm] - [mm] 2\integral{x*arcsin(x) dx} [/mm]

Inwiefern sollte mir das jetzt bekannt vorkommen? Ich glaub ich steh am schlauch^^


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arcsin(x),partiell integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 So 25.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> Danke schonmal
>  
>
> > [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} - \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} \ \right)' dx}[/mm]
>  
> [mm]((arcsin(x))^2)'[/mm] = 2 arcsin(x)
>  
> = x * [mm](arcsin(x))^2[/mm] - [mm]\integral{x*2arcsin(x) dx}[/mm]
>  =x *
> (arcsin [mm](x))^2[/mm] - [mm]2\integral{x*arcsin(x) dx}[/mm]
>  
> Inwiefern sollte mir das jetzt bekannt vorkommen? Ich glaub
> ich steh am schlauch^^
>  


Die Ableitung von  [mm](arcsin (x))^2[/mm] ist nicht richtig gebildet worden.
Für die Ableitung benutze die Kettenregel.


Gruss
MathePower

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arcsin(x),partiell integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 So 25.03.2012
Autor: Lu-

Ich hab die innere ABleitung vergessen

[mm] ((arcsin(x))^2)' [/mm] = 2* arcsin(x) * [mm] \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm]

[mm] \integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2} [/mm] - [mm] \integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}\ \right)' dx} [/mm]

= x *  [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] $ - $ [mm] \integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm]

= x*  [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] - (- $ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x)+x )
=x*  [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] + $ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x)-x
=$ [mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{} [/mm] $ arcsin(x) + [mm] x*((arcsin(x))^2 [/mm] -1)

Kan ich da noch was machen?

Bezug
                                                        
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 So 25.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> Ich hab die innere ABleitung vergessen
>  
> [mm]((arcsin(x))^2)'[/mm] = 2* arcsin(x) * [mm]\frac{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>  
> [mm]\integral{(arcsinx)^2dx}=x\cdot{}\left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}[/mm]
> - [mm]\integral{x\cdot{}\left( \ \left( \ arcsin(x) \ \right)^{2}\ \right)' dx}[/mm]
>
> = x *  [mm](arcsin(x))^2[/mm]  [mm]-[/mm] [mm]\integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>  

Hier hast Du den Faktor 2 vergessen:

[mm]x * (arcsin(x))^2 - \red{2}\integral{x * arcsin(x) * \frac{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]


>  
> = x*  [mm](arcsin(x))^2[/mm] - (- [mm]\wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x)+x
> )
>  =x*  [mm](arcsin(x))^2[/mm] + [mm]\wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x)-x
> =[mm] \wurzel{1-x^2}\cdot{}[/mm] arcsin(x) + [mm]x*((arcsin(x))^2[/mm] -1)
>  
> Kan ich da noch was machen?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 So 25.03.2012
Autor: Lu-

Tut mir leid, Ich bin heute nicht ganz da mit meinen Gedanken.

= x* [mm] (arcsin(x))^2 [/mm] + 2* [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] * arcsin(x) -2x

Geht das noch zu vereinfachen?
Ich glaub das passt .

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 So 25.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Lu-,

> Tut mir leid, Ich bin heute nicht ganz da mit meinen
> Gedanken.
>  
> = x* [mm](arcsin(x))^2[/mm] + 2* [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] * arcsin(x) -2x
>  
> Geht das noch zu vereinfachen?


Lass das so stehen.


> Ich glaub das passt .
>


Ja, das passt. [ok]


> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
arcsin(x),partiell integrieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 So 25.03.2012
Autor: Lu-

danke <3

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