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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ahead |
Hallo,
seit Tagen versuch ich mich an folgender Ableitung ohne Ergebnis:
arcsin [mm] (x/(1+x²)^0,5)
[/mm]
In meiner Formelsammlung finde ich die Ableitung für arcsin (x), jedoch wenn ich diese auf meine Funtkion übertrage komme ich nicht auf das Ergebnis von 1/1+x²
Wie gehe ichan diese Aufgabe ran?
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> Hallo,
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> seit Tagen versuch ich mich an folgender Ableitung ohne
> Ergebnis:
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> arcsin [mm](x/(1+x²)^0,5)[/mm]
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> In meiner Formelsammlung finde ich die Ableitung für arcsin
> (x), jedoch wenn ich diese auf meine Funtkion übertrage
> komme ich nicht auf das Ergebnis von 1/1+x²
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> Wie gehe ichan diese Aufgabe ran?
Einfach ableiten (Kettenregel, Quotientenregel usw.):
[mm]\begin{array}{lcl}
\left(\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}\right)' &=& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{1+x^2}}}\cdot \frac{1\cdot\sqrt{1+x^2}-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x}{1+x^2}\\[.2cm]
&=& \frac{\sqrt{1+x^2}}{1}\cdot\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)\cdot \sqrt{1+x^2}}\\[.2cm]
&=& \frac{1}{1+x^2}
\end{array}[/mm]
Dieses Ergebnis erinnert allerdings sehr an die Ableitung einer anderen Arcus-Funktion. In der Tat ist [mm] $\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan(x)$ [/mm] (wofür man jedoch noch gute Gründe finden müsste...), so dass man auch kurzerhand hätte schreiben können:
[mm]\left(\arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)' = \left(\arctan(x)\right)' = \frac{1}{1+x^2}
[/mm]
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