arc sin will nicht < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mi 15.12.2010 | | Autor: | zitrone |
Guten Abend!
Ich sollte von dieser Funktion die Nullstellen bestimmen. Doch bei einem entscheidenem Schritt spinnt mein Taschenrechner.
Hier meine Rechnung>
[mm] 1,5sin(\bruch{\pi}{2}x)+4 [/mm] = 0
[mm] 1,5sin(\bruch{\pi}{2}x)= [/mm] -4 | :1,5
[mm] sin(\bruch{\pi}{2}x)= -\bruch{8}{3} [/mm] | arc sin
arc [mm] sin-\bruch{8}{3}= \bruch{\pi}{2}x
[/mm]
error [mm] =\bruch{\pi}{2}x
[/mm]
Bei arc sin Zeigt mir der Taschenrechner error an. Woran koennte das liegen.Oder hats etwas keine Nullstellen?
Kann mir bitte jemand helfen?:(
lg zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend!
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> Ich sollte von dieser Funktion die Nullstellen bestimmen.
> Doch bei einem entscheidenem Schritt spinnt mein
> Taschenrechner.
> Hier meine Rechnung>
>
> [mm]1,5sin(\bruch{\pi}{2}x)+4[/mm] = 0
> [mm]1,5sin(\bruch{\pi}{2}x)=[/mm] -4 | :1,5
> [mm]sin(\bruch{\pi}{2}x)= -\bruch{8}{3}[/mm] | arc sin
> arc [mm]sin-\bruch{8}{3}= \bruch{\pi}{2}x[/mm]
> error
> [mm]=\bruch{\pi}{2}x[/mm]
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> Bei arc sin Zeigt mir der Taschenrechner error an. Woran
> koennte das liegen.Oder hats etwas keine Nullstellen?
zunächst: denke bei solchen Aufgaben dran, den TR auf das entsprechende Gradmaß einzustellen (z.B. hier:Bogenmaß)
Aber klar ist, dass der Taschenrechner hier einen Fehler ausgeben muss, bzw. die Rechnung abbricht. Der Grund liegt darin, dass [mm] $\arcsin\,$ [/mm] nur für Argumente aus $[-1,1]$ definiert ist (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki).
Und $-8/3$ ist halt $< [mm] -1\,.$
[/mm]
Übrigens eine Alternative Lösungsmethode für Deine Aufgabe (es ist aber eigentlich trotzdem fast die gleiche - nur arbeitet man nicht mit der Umkehrfunktion der auf [mm] $[-\pi/2,\;\pi/2]$ [/mm] eingeschränkten Funktion [mm] $\sin_{|[-\pi/2,\;\pi/2]}$ [/mm] - benutzt aber gewisse Analoge Überlegungen, die man z.B. bei der Angabe des Definitionsbereichs von [mm] $\arcsin$ [/mm] auch mal gemacht haben sollte):
Es ist dort auch schon von vorneherein klar, dass die Gleichung als Lösungsmenge die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] hat, also für kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt sein kann. Denn weil [mm] $\sin$ [/mm] nach $[-1,1]$ abbildet, ist natürlich auch [mm] $sin(\bruch{\pi}{2}x) \in [-1,1]\,$ [/mm] und damit auch [mm] $1,5\cdot sin(\bruch{\pi}{2}x) \in [-1,5,\;1,5]\,.$ [/mm] Nun gilt aber für alle $-1,5 [mm] \le [/mm] y [mm] \le 1,5\,,$ [/mm] dass
$$2,5 [mm] \le [/mm] 4+y [mm] \le 5,5\,,$$
[/mm]
also insbesondere
$$2,5 [mm] \le [/mm] 1,5 [mm] \cdot sin(\bruch{\pi}{2}x)+4$$
[/mm]
für jedes reelle [mm] $x\,.$ [/mm] Damit hat
$$x [mm] \mapsto [/mm] 1,5 [mm] \cdot sin(\bruch{\pi}{2}x)+4$$
[/mm]
als Abbildung mit Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] keine Nullstellen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Do 16.12.2010 | | Autor: | zitrone |
OK! Vielen Dank für die Erklärung!:)
lg zitrone
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