anzahl der Unterräume < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Fr 10.11.2006 | | Autor: | zero2006 |
| Aufgabe | | Wieviele Unterräume hat der [mm] \IF_{11} [/mm] - Vektorraum [mm] \IF_{11} \times \IF_{11} [/mm] |
Ich habe da ein kleines problem also die Dimension ist ja 11, also muss der Unterraum doch 11 Elemente haben?!
Kann mir da jemand ein Rezept geben wie ich da diese Art von aufgaben dran gehe!!
Oder vielleicht sogar lösen?!
danke für eure antwort
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Ich behaupte, dass der [mm] \IF_{11}-Vektorraum \IF_{11}x\IF_{11} [/mm] genau vierzehn Unterräume hat, diese sind (0,0); (x,0); (0,y); (1,y); (x,1); (x,y), d.h. der Vektorraum selber.
Da ein Untervektorraum nie leer ist, enthält er trivialerweise stets (0,0). Es gebe ein echtes weiteres Element. Dies habe zunächst die Form (x,0) mit [mm] x\not=0. [/mm] Da bei [mm] \IF_{11} [/mm] jedes Element [mm] \not=0 [/mm] erzeugendes Element ist, erhalte ich bei der Skalarmultiplikation von (x,0) ganz [mm] \IF_{11}x{0}. [/mm] Analog [mm] {0}x\IF_{11}. [/mm] Verbleibt (x,y) mit [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] y\not=0. [/mm] Skalarmulitplikation mit x^(-1) liefert (1,z). Man sieht leicht, dass {(1,z); (2,2*z);...;(10,10*z);(0,0)} ein Vektorraum ist. Für [mm] z\not=0 [/mm] gibt es 10 Möglichkeiten. Gibt es ein weiteres echtes Element, so habe ich mit [mm] (1,z_{1}) [/mm] und [mm] (1,z_{2}), z_{1}\=0\=z_{2}\=z_{1}, [/mm] auch [mm] z_{2} [/mm] * [mm] (1,z_{1}) [/mm] - [mm] z_{1} [/mm] * [mm] (1,z_{2}) [/mm] = [mm] (z_{2}-z_{1} \= [/mm] 0,0) in diesem Vektorraum. Analog (0, z [mm] \= [/mm] 0), also [mm] \IF_{11}x\IF_{11}. [/mm] qed
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