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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 Di 02.11.2004 | | Autor: | sengwarden |
Hallo,
habe mal wieder ein Problem und komme nicht weiter.
K sei ein angeordneter [mm] Körper(+,.,\le)
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß für alle x,y aus K aus x<1<y folgt xy<x+y-1
b) Beweisen Sie mit Hilfe von a): ist ein n [mm] \in \IN [/mm] und zu jedem j [mm] \in \IN [/mm]
mit j [mm] \le [/mm] n ein positives Element x(j) [mm] \in [/mm] K gegeben, so gilt:
Produkt(n über j=1) x(j)=1 [mm] \Rightarrow \summe_{j=1}^{n} [/mm] x(j) [mm] \ge [/mm] n
Wer weiss es, vielen, vielen Dank.
Kathrin
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Hallo sengwarden,
ich verrate hier nur soviel zur Teilaufgabe a)
Nimm die Ungleichung x<1<y einmal mal x, ein anderes Mal mal y. Benutze die beiden entstehenden Ungleichungen geeignet um einen Vergleich zwischen xy und x+y zu bekommen. Einmal noch die ursprüngliche UGL benutzt und schon stehts da.
Hugo
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Hat wunderbar funktioniert, vielen Dank Hugo.
Wer had den noch eine Idee zu Teil b)
Gruß Kathrin
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Hallo Kathrin,
ich hab mir auch zum zweiten Teil was überlegt, allerdings konnte ich Teil a) nicht ausdrücklich verwenden, sondern nur 'ein bisschen'. Du siehst schon, was ich damit meine.
Was folgt ist eine Induktion über n.
Für [mm]n=1[/mm] gilt:
[mm]x_1=1[/mm] und damit [mm]x_1\ge1[/mm].
Für [mm]n\ge2[/mm] nehmen wir an, dass die Aussage für [mm]n-1[/mm] schon bewiesen wurde.
Wenn alle [mm]x_i=1[/mm], dann ist die [mm]\sum=n[/mm].
Also nehmen wir an, es gibt ein [mm]x_i[/mm], mit [mm]x_i\not=1[/mm], insbesondere gibt es mindestens ein [mm]x_i>1[/mm] und ein [mm]x_j<1[/mm].
Sei deshalb [mm]x_j<1[/mm], d.h. [mm]x_j=\frac{1}{1+c}[/mm] mit einem positiven c.
Dann ist [mm]\prod_{i=1,\ i\not=j}^{n}x_i=1+c[/mm].
Diese (n-1) Zahlen haben nach Voraussetzung eine [mm]\sum\ge(n-1)\cdot(1+c)[/mm].
Wir berechnen dann
[mm]\sum_{i=1}^{n}x_i=[/mm]
[mm]=(n-1)\cdot(1+c)+\frac{1}{1+c}=[/mm]
[mm]=n-1+nc-c+\frac{1}{1+c}\ge[/mm]
[mm]\ge n-1+nc-c+1-c=[/mm]
[mm]=n+(n-2)\ge n[/mm]
Die Ungleichung in der Mitte kommt daher, dass [mm](1+c)\cdot(1-c)\le1[/mm] und damit [mm](1-c)\le\frac{1}{1+c}[/mm].
Das kann man vielleicht als Benutzen von Teil a) ansehen mit [mm]x=1-c,\ y=1+c[/mm], wobei dann für c>0 das Gleichheitszeichen verschwindet.
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