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| Aufgabe | Es seien V und W zwei endl-dim. K-Vektorräume, f:V->W linear und [mm] k\in [/mm] N. Zeigen Sie:
a) [mm] Alt^k(f): Alt^k(W) [/mm] -> [mm] Alt^k(V) [/mm] ist injektiv, wenn f surjektiv ist
b) [mm] Alt^k(f): Alt^k(W) [/mm] -> [mm] Alt^k(V) [/mm] ist surjektiv, wenn f injektiv ist |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll. Ich weiß, was gezeigt werden soll, aber irgendwie finde ich keinen Anfang. Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte. Schon mal vielen Dank...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:08 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es seien V und W zwei endl-dim. K-Vektorräume, f:V->W
> linear und [mm]k\in[/mm] N. Zeigen Sie:
> a) [mm]Alt^k(f): Alt^k(W)[/mm] -> [mm]Alt^k(V)[/mm] ist injektiv, wenn f
> surjektiv ist
> b) [mm]Alt^k(f): Alt^k(W)[/mm] -> [mm]Alt^k(V)[/mm] ist surjektiv, wenn f
> injektiv ist
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> ich weiß leider nicht, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen
> soll. Ich weiß, was gezeigt werden soll, aber irgendwie
> finde ich keinen Anfang. Wäre echt nett, wenn mir jemand
> helfen könnte. Schon mal vielen Dank...
Nehmen wir uns mal a) vor. Du hast also, dass $f$ surjektiv ist. Und jetzt hast du eine alternierende Multilinearform [mm] $\psi [/mm] : [mm] W^k \to [/mm] K$ mit [mm] $\psi(f(v_1), \dots, f(v_k)) [/mm] = 0$ fuer alle [mm] $v_1, \dots, v_k \in [/mm] V$, und du sollst zeigen, dass [mm] $\psi$ [/mm] bereits identisch $0$ ist, also [mm] $\psi(w_1, \dots, w_k) [/mm] = 0$ ist fuer alle [mm] $w_1, \dots, w_k \in [/mm] V$. Wie kannst du das jetzt machen, wenn $f$ surjektiv ist?
Und zu b). Du hast eine alternierende Multilinearform [mm] $\varphi [/mm] : [mm] V^k \to [/mm] K$ gegeben und sollst eine alternierende Multilinearform [mm] $\psi [/mm] : [mm] W^k \to [/mm] K$ finden mit [mm] $\psi(f(v_1), \dots, f(v_k)) [/mm] = [mm] \varphi(v_1, \dots, v_k)$ [/mm] fuer alle [mm] $v_1, \dots, v_k \in [/mm] V$, wenn $f$ injektiv ist.
Sprich, du musst so ein [mm] $\psi$ [/mm] konstruieren. Wie konstruiert man Multilinearformen? Dazu braucht man erstmal eine Basis. Nimm dir doch erstmal eine Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] von $V$ und eine Basis [mm] $w_1, \dots, w_m$ [/mm] von $W$, wobei [mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] w_i$ [/mm] sei, $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$. Dann wird das ganze einfacher.
Jetzt musst du sagen, wie [mm] $\psi(w_i, w_j)$ [/mm] aussieht fuer $1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] m$. Welche Werte muss dies denn annehmen fuer $1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] n$? Und kann man das ganze zu einer alternierenden Multilinearform auf $W$ fortsetzen, also kann man die restlichen [mm] $\psi(w_i, w_j)$ [/mm] passend waehlen?
LG Felix
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