alternierende Exponentialreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Reihenwert von
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}}[/mm] |
Offensichtlich versteckt sich in der Reihe die exponentialreihe, für die bekanntlich gilt:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
Die gegebene Reihe lässt sich umformen zu:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}} = e^2*2^2\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}[/mm]
Nun stört eigentlich "nur" noch das [mm] (-1)^k.
[/mm]
Mein Ansatz die Ableitung der geometrischen Reihe zu betrachten, hat mich jedoch nicht weiter gebracht:
Es ist
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
=> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = \bruch{\partial}{\partial x}e^x[/mm]
=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k-1}}{k!}} = e^x[/mm]
Da für $k=0$ der Summand 0 ist, kann dieser auch weggelassen werden
=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(k+1)*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
Hier sehe ich eigentlichs chon icht mehr ob mir das überhaupt was bringt, aber ausklammern liefert:
=>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
Sei $x := -1$ dann ist
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} =e^{-1}[/mm]
D.h.
[mm]e^{-1} - \summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} = \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)*k!}}[/mm]
Von der Form zwar schon relativ "nah" an der gegebenen Reihe. Aber irgendwie nicht zielführend.
Hat jemand irgendwelche Tipps?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 24.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Reihenwert von
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}}[/mm]
>
>
>
> Offensichtlich versteckt sich in der Reihe die
> exponentialreihe, für die bekanntlich gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
>
> Die gegebene Reihe lässt sich umformen zu:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k+2}e^2}{k!}} = e^2*2^2\summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}[/mm]
>
> Nun stört eigentlich "nur" noch das [mm](-1)^k.[/mm]
Warum ? Verpacks doch mit der 2:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\bruch{2^{k}}{k!}}= \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k}{k!}=e^{-2}
[/mm]
FRED
>
> Mein Ansatz die Ableitung der geometrischen Reihe zu
> betrachten, hat mich jedoch nicht weiter gebracht:
>
> Es ist
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = e^x[/mm]
> =>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^k}{k!}} = \bruch{\partial}{\partial x}e^x[/mm]
>
> =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k-1}}{k!}} = e^x[/mm]
> Da
> für [mm]k=0[/mm] der Summand 0 ist, kann dieser auch weggelassen
> werden
> =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{(k+1)*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
>
> Hier sehe ich eigentlichs chon icht mehr ob mir das
> überhaupt was bringt, aber ausklammern liefert:
>
> =>[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{x^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{k}}{(k+1)!}} = e^x[/mm]
>
> Sei [mm]x := -1[/mm] dann ist
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}}+\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} =e^{-1}[/mm]
>
> D.h.
> [mm]e^{-1} - \summe_{k=0}^{\infty}{k*\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)!}} = \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{(-1)^{k}}{(k+1)*k!}}[/mm]
>
> Von der Form zwar schon relativ "nah" an der gegebenen
> Reihe. Aber irgendwie nicht zielführend.
>
> Hat jemand irgendwelche Tipps?
>
|
|
|
|
