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| Aufgabe | | Von einem ebenen Viereck ABCD sind gegeben: a=736.42m, b=1261.4m, [mm] \beta=(Winkel [/mm] zwischen a und b)=122.19, [mm] \delta_1=(Winkel [/mm] zwischen d und f)=33.77 Grad, [mm] \delta_2=(Winkel [/mm] zwischen c und f)=42.4 Grad. Ermittle rechnerisch die fehlenden Umfangstücke. |
Ich habe e mittels [mm] e^2=a^2+b^2-2abCos(\beta) [/mm] ausgerechnet und eine Beziehung zwischen c und d ebenfalls mittels des Cosinussatzes, also mit [mm] e^2=c^2+d^2-2cdCos(\delta_1+\delta_2), [/mm] aufgestellt. Aber jetzt steh ich an. Ich habe dann noch [mm] Sin(\delta_1)/a=Sin(\beta_1)/d [/mm] und [mm] Sin(\delta_2)/b=Sin(\beta_2)/c=Sin(\beta-\beta_1)/c [/mm] aufgestellt und sozusagen eine zweite Beziehung zwischen c und d, aber die Gleichungen werden so unhandlich, dass ich sie nicht lösen kann. Das muss doch einfacher gehen, oder? Danke für eure Hilfe,
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
e ist also [mm] \overline{AC} [/mm] und f ist also [mm] \overline{BD}
[/mm]
e hast du berechnet über den Cosinussatz, berechne jetzt [mm] \gamma_1 [/mm] (Winkel zwischen b und e) und [mm] \alpha_2 [/mm] (Winkel zwischen a und e)
stelle jetzt drei Gleichungen auf:
(1) Innenwinkelsumme Viereck
[mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] 122,19^{0} [/mm] + [mm] \gamma_1 [/mm] + [mm] \gamma_2 [/mm] + [mm] 42,4^{0} [/mm] + [mm] 33,,77^{0} [/mm] = [mm] 360^{0}
[/mm]
(2) Innenwinkelsumme Dreieck ACD
[mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \gamma_2 [/mm] + [mm] 42,4^{0} [/mm] + [mm] 33,,77^{0} [/mm] = [mm] 180^{0}
[/mm]
(3) Sinussatz im Dreieck ACD
[mm] \bruch{c}{sin(\alpha_1)}=\bruch{e}{sin(42,4^{0} + 33,,77^{0})}
[/mm]
du hast drei Gleichungen mit den Unbekannten [mm] \alpha_1, \gamma_2 [/mm] und c
Steffi
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Da hast du mir ganz schön aus der Patsche geholfen. An den Viereckswinkelsatz hab ich überhaupt nicht gedacht - DANKE!
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Hallo Steffi,
bist du dir sicher, dass dieser Weg zum Ziel führt?
Die Gleichungen (1) und (2) sagen doch dasselbe aus, oder?
(Bzw. sie binden die eher (nutzlose) Information ein, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck BCA auch 180° ist).
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Fr 05.03.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo steppenhahn, na klar, überlege eine echte dritte Gleichung, Steffi
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Steppenhahn hat recht. Ich hab mir das gerade durchgerechnet. Die beiden ersten Gleichungen führen beide auf [mm] \alpha_1+\gamma_2=103.83.
[/mm]
Oje, ich hab gedacht, das wars :-(
Danke, Steppenhahn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Fr 05.03.2010 | | Autor: | weduwe |
zur lösung der aufgabe genügt der sinussatz, wenn du die winkelsumme im 4eck berücksichtigst
(d [mm] \approx [/mm] 427.449)
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Hallo!
Ich weiß zwar nicht, ob man das Problem einfacher lösen kann (weduwe deutet so etwas ja an), aber folgendermaßen geht es:
Am Anfang: Alle Werte eintragen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun können wir im Dreieck ABC alles ausrechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Unter Nutzung der Innenwinkelsumme erhalten wir im Dreieck ACD den Winkel [mm] \gamma_{1} [/mm] in Anhängigkeit von [mm] \alpha_{2}:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Folgenden konzentrieren wir uns darauf, [mm] \alpha_{2} [/mm] auszurechnen.
Wenn wir [mm] \alpha_{2} [/mm] kennen, können wir mit Hilfe des Sinussatzes sowohl c als auch d im Dreieck ACD ausrechnen.
Wie kommen wir an [mm] \alpha_{2}:
[/mm]
Wir drücken die Diagonale "f" einmal im Dreieck ABD, und einmal im Dreieck BCD nur in Abhängigkeit von [mm] \alpha_{2} [/mm] aus. Da die erhaltenen Ausdrücke übereinstimmen müssen (schließlich wird eine Strecke, nämlich f, beschrieben), erhalten wir eine Gleichung für [mm] \alpha_{2}.
[/mm]
Im Dreieck ABD gilt mit dem Sinussatz:
[mm] $\frac{f}{\sin(\alpha)} [/mm] = [mm] \frac{a}{sin(\delta_{1})}$
[/mm]
[mm] $\frac{f}{\sin(\alpha_{2}+37.16^{o})} [/mm] = [mm] \frac{736.42}{sin(33.77^{o})}$
[/mm]
$f = [mm] 1324.83*\sin(\alpha_{2}+37.16^{o})$
[/mm]
Im Dreieck BCD gilt mit dem Sinussatz:
[mm] $\frac{f}{\sin(\gamma)} [/mm] = [mm] \frac{b}{sin(\delta_{2})}$
[/mm]
[mm] $\frac{f}{\sin(103.83^{o} - \alpha_{2}+20.65^{o})} [/mm] = [mm] \frac{1261.4}{sin(42.4^{o})}$
[/mm]
$f = [mm] 1870.67*\sin(124.48^{o}-\alpha_{2})$
[/mm]
----------
Dadurch erhalten wir nun die Gleichung:
[mm] $1324.83*\sin(\alpha_{2}+37.16^{o}) [/mm] = [mm] 1870.67*\sin(124.48^{o}-\alpha_{2})$
[/mm]
Diese Gleichung kannst du entweder näherungsweise durch deinen Taschenrechner lösen oder "exakt", indem du auf beiden Seiten die Additionstheoreme anwendest.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich mich nirgendwo verrechnet habe. Deswegen ist Nachrechnen Pflicht! 
Hauptsache, das Prinzip ist klar.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Fr 05.03.2010 | | Autor: | weduwe |
wie angedeutet:
ich habe mich auf die andere diagonale f konzentriert,
damit geht´s einfach mit dem sinussatz:
(I) [mm]a:f =sin\delta_1:sin\alpha[/mm]
(II) [mm] b:f=sin\delta_2:(-sin(\alpha+\epsilon)) [/mm] mit [mm] \epsilon=\beta+\delta_1+\delta_2
[/mm]
(I)/(II)[mm]\to\tan\alpha=-\frac{b\cdot sin\delta_1 \cdot sin\epsilon}{a\cdot sin\delta_2+b\cdot sin\delta_1\cdot cos\epsilon}\to\alpha\approx 127.4070[/mm]
der rest ist einfach
[mm] d=\frac{a\cdot sin\delta_1}{sin(\alpha+\delta_1)} [/mm] und analog c mit hilfe von b und [mm] \gamma
[/mm]
nebenbei: konstruieren läßt sich das 4eck einfach und ohne viel aufwand
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Hey,
> wie angedeutet:
>
> ich habe mich auf die andere diagonale f konzentriert,
> damit geht´s einfach mit dem sinussatz:
>
>
> (I) [mm]a:f =sin\delta_1:sin\alpha[/mm]
>
> (II) [mm]b:f=sin\delta_2:(-sin(\alpha+\epsilon))[/mm] mit
> [mm]\epsilon=\beta+\delta_1+\delta_2[/mm]
>
> (I)/(II)[mm]\to\tan\alpha=-\frac{b\cdot sin\delta_1 \cdot sin\epsilon}{a\cdot sin\delta_2+b\cdot sin\delta_1\cdot cos\epsilon}\to\alpha\approx 127.4070[/mm]
>
> der rest ist einfach
>
> [mm]d=\frac{a\cdot sin\delta_1}{sin(\alpha+\delta_1)}[/mm] und
> analog c mit hilfe von b und [mm]\gamma[/mm]
>
> nebenbei: konstruieren läßt sich das 4eck einfach und
> ohne viel aufwand
Da haben wir ja doch dieselben Ansätze gehabt, nur ich hab' es "etwas" komplizierter aufgeschrieben...
Grüße,
Stefan
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Danke auch dir für deine Mühe weduwe. Ganz verstanden hab ich es allerdings noch nicht. Wie kommst du auf die dritte Gleichung (I)/(II)? Warum ist das Ergebnis der Division von (I) und (II) das was bei dir auf der rechten Seite steht? Vielleicht steh ich auch einfach nur auf der Leitung, aber es wäre nett von dir, wenn du mir das noch genauer schreiben könntest,
danke schon mal,
Peter
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Hallo,
auch weduwe verwendet Additionstheoreme.
Kannst du nicht deinen Taschenrechner benutzen, die beiden Funktionen einzeichnen und nach Schnittpunkten suchen lassen?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Fr 05.03.2010 | | Autor: | weduwe |
> Danke auch dir für deine Mühe weduwe. Ganz verstanden hab
> ich es allerdings noch nicht. Wie kommst du auf die dritte
> Gleichung (I)/(II)? Warum ist das Ergebnis der Division von
> (I) und (II) das was bei dir auf der rechten Seite steht?
> Vielleicht steh ich auch einfach nur auf der Leitung, aber
> es wäre nett von dir, wenn du mir das noch genauer
> schreiben könntest,
>
> danke schon mal,
> Peter
die beiden gleichungen dividieren führt auf:
[mm] \frac{a}{b}=-\frac{sin\delta_1\cdot sin(\alpha+\epsilon)}{sin\delta_2\cdot sin\alpha}
[/mm]
und jetzt wird es ohne [mm] sin(\alpha+\epsilon)=sin\alpha\cdot cos\epsilon +cos\alpha\cdot sin\epsilon [/mm] nicht gehen.
ansonsten dividierst du den zähler auf der rechten seite einfach durch [mm] sin\alpha [/mm] und bist am ziel
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Danke Steppenhahn für deine ausführliche Antwort. Ich kann mir allerdings nicht vorstellen, dass wir das näherungsweise berechnen sollen und die Additionstheoreme haben wir nicht gelernt.
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Danke an euch beiden. Ihr habt mir sehr geholfen. Das Matheforum ist toll!
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