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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Di 19.04.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige für [mm] $a,b_1,\ldots,b_k \in \mathbb{Z},$ [/mm] dass [mm] $ggT(a,b_1\ldots b_k) [/mm] = 1$ [mm] $\Longleftrightarrow$ $ggT(a,b_i)=1.$ [/mm] für [mm] $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] k.$ |
Beweis:
[mm] $(\Leftarrow):$ \\
[/mm]
$ [mm] ggT(a,b_i) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 = [mm] \prod_i(a\alpha_i [/mm] + [mm] b_i \beta [/mm] _ i ) = [mm] (a\alpha_1 [/mm] + [mm] b_1\beta_1)(a\alpha_2 [/mm] + [mm] b_2 \beta_2) \ldots (a\alpha_k [/mm] + [mm] b_k\beta_k) [/mm] = ax + [mm] \prod_{i=1}^k b_i\beta [/mm] _i [mm] \Rightarrow ggT(a,\prod b_i) [/mm] =1 $ [mm] \\
[/mm]
[mm] $(\Rightarrow):$ \\
[/mm]
Es gelte $|d| [mm] \neq [/mm] 1 $ und $d|a$. [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] d [mm] \nmid \prod_{i=1}^{k} b_i \Rightarrow d\nmid b_i \forall i\in\{1,\ldots,k\}. \Rightarrow ggT(a,b_i) [/mm] = 1.$
Stimmt das so?
Mein Problem: Die letzte Schlussfolgerung könnte sicher noch weiter zerlegt werden, doch leuchtet mir dies intuitiv schon ein, sodass ich keinen weiteren für nötig halte bzw. auch keinen solchen finde,
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 19.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Man zeige für [mm]a,b_1,\ldots,b_k \in \mathbb{Z},[/mm] dass
> [mm]ggT(a,b_1\ldots b_k) = 1[/mm] [mm]\Longleftrightarrow[/mm] [mm]ggT(a,b_i)=1.[/mm]
> für [mm]1\le i \le k.[/mm]
Diese Aussage ist falsch, wie ein Gegenbeispiel schnell zeigt.
Sei a=2, [mm] b_1=3 [/mm] und [mm] b_2=4.
[/mm]
Es gilt ggT(2;3;4)=1, obwohl der [mm] ggT(a;b_2) [/mm] NICHT 1 ist.
Der genau-dann-wenn-Pfeil hat also überhaupt keine Berechtigung.
Gruß Abakus
> Beweis:
> [mm](\Leftarrow):[/mm] [mm]\\[/mm]
> [mm]ggT(a,b_i) = 1 \Rightarrow 1 = \prod_i(a\alpha_i + b_i \beta _ i ) = (a\alpha_1 + b_1\beta_1)(a\alpha_2 + b_2 \beta_2) \ldots (a\alpha_k + b_k\beta_k) = ax + \prod_{i=1}^k b_i\beta _i \Rightarrow ggT(a,\prod b_i) =1 [/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm](\Rightarrow):[/mm] [mm]\\[/mm]
> Es gelte [mm]|d| \neq 1[/mm] und [mm]d|a[/mm]. [mm]\\[/mm]
> [mm]\Rightarrow d \nmid \prod_{i=1}^{k} b_i \Rightarrow d\nmid b_i \forall i\in\{1,\ldots,k\}. \Rightarrow ggT(a,b_i) = 1.[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Mein Problem: Die letzte Schlussfolgerung könnte sicher
> noch weiter zerlegt werden, doch leuchtet mir dies intuitiv
> schon ein, sodass ich keinen weiteren für nötig halte
> bzw. auch keinen solchen finde,
> Könnte mir da jemand weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 19.04.2011 | | Autor: | clemenum |
Hallo Abakus!
Entschuldige bitte meine Missverständliche Schreibweise:
Es geht jeweils um den ggT ZWEIER Zahlen und nicht etwa von k+1 Zahlen. Bei der linken Seite handedlt es sich um das Produkt [mm] $b_1\cdots b_k.$ [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 19.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Entschuldige bitte meine Missverständliche Schreibweise:
> Es geht jeweils um den ggT ZWEIER Zahlen und nicht etwa von
> k+1 Zahlen. Bei der linken Seite handedlt es sich um das
> Produkt [mm]b_1\cdots b_k.[/mm]
Deine Rueckrichung stimmt so. Der letzte Schritt ist ja einfach die Definition des ggT.
LG Felix
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