allg. Vektorraum-Endomorphimen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Mi 29.12.2004 | | Autor: | junkx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
hi, folgende aufgabe:
stellen sie fest, welche aussagen für beliebige untervektorräume U1, U2 eines R-Vektorraums V und beliebige lineare abbildungen f: V -> V richtig sind:
(i) f(U1 + U2) = f(U1) + f(U2)
(ii) f(U1 [mm] \cap [/mm] U2) = f(U1) [mm] \cap [/mm] f(U2)
(iii) f^(-1) (U1 + U2) = f^(-1) (U1) + f^(-1) (U2)
(iv) f^(-1) (U1 [mm] \cap [/mm] U2) = f^(-1) (U1) [mm] \cap [/mm] f^(-1) (U2)
f^(-1) sei das volle urbild des untervektorraums
zu (i): meiner ansicht nach sollte das richtig sein, da man U1, U2 als linearkombinationen einer gewähleten basis schreiben kann und dann die linearität von f ausnutzen kann. oder?!
zu (ii): mein übungsleiter meinte aus dem bauch herraus es wäre wahr, ich bin aber anderer meinung da man als beispiel V=R³ wählen kann und U1 bzw U2 so als ebenen wählen kann, dass die schnittgerade zb die x-achse ergibt. als f wähle ich nun die parallelprojektion in die x-y-ebene und die aussage wäre widerlegt, oder?!
zu (iii)/(iv): welchen ansatz wählt man da?
danke schonmal, hoffe dass mir jemand helfen kann...
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> (i) f(U1 + U2) = f(U1) + f(U2)
> zu (i): meiner ansicht nach sollte das richtig sein, da man U1, U2 als linearkombinationen einer gewähleten basis schreiben kann und dann die linearität von f ausnutzen kann. oder?!
Es ist richtig, was du gesagt hast, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob es so gemeint war. Du hast gezeigt, dass die Behauptung gilt, wenn du für $U1$ bzw. $U2$ beliebige Elemente aus $U1$ bzw. $U2$ einsetzt. Dann folgt die Behauptung direkt aus der Definition von $f$. Es gäbe aber auch folgende Möglichkeit: wenn nämlich das $+$ als Vereinigungsoperator gedacht ist, müsstest du meines Erachtens nach über beidseitige Inklusion ran, was allerdings auch kein Problem ist. Du kannst es ja zur Kontrolle nochmals versuchen.x
> (ii) f(U1 $ [mm] \cap [/mm] $ U2) = f(U1) $ [mm] \cap [/mm] $ f(U2)
Ich denke, dass die Behauptung richtig ist. Versuches es mal über beidseitige Inklusion:
Als erstes zeigst du, dass [mm] $f(U1\cap U2)\subseteq f(U1)\cap [/mm] f(U2)$ gilt. Das sieht man relativ einfach ein. Sei nämlich [mm] $u\in (U1\cap [/mm] U2)$ ein Element des Schnittes von U1 und U2, dann gilt [mm] $f(u)\in [/mm] f(U1)$ und [mm] $f(u)\in [/mm] f(U2)$ und somit auch [mm] $f(u)\in (f(U1)\cap [/mm] f(U2))$. Damit ist die Inklusion abgeschlossen. Nun musst du zeigen, dass, wenn zwei Bilder [mm] $f(v_1)$ [/mm] und [mm] $f(v_2)$ [/mm] übereinstimmen [mm] ($u_1,u_2\in [/mm] V$), sofort [mm] $v_1=v_2$ [/mm] folgt. Dies folgt allerdings aus der Definition von $f$, da $f$ ein Endomorphismus und somit injektiv ist. Daher muss [mm] $v_1$ [/mm] in [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] liegen, da [mm] $f(v_1)$ [/mm] sonst nur in einem der beiden Bilder $f(U1)$ oder $f(U2)$ enthalten wäre. Damit folgt die Behauptung.
Ich hoffe ich habe mich nirgendwo verhaspelt.
> (iii) f^(-1) (U1 + U2) = f^(-1) (U1) + f^(-1) (U2)
> (iv) f^(-1) (U1 $ [mm] \cap [/mm] $ U2) = f^(-1) (U1) $ [mm] \cap [/mm] $ f^(-1) (U2)
Auch hier würde ich dir raten, es über beidseitige Inklusion zu versuchen. Probier's einfach mal, ein kleines Beispiel habe ich dir ja schon gepostet.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Mo 03.01.2005 | | Autor: | mki |
ein Vektorraum-Endomorphismus ist nicht notwendig linear.
Die Aussage (ii) ist im allgemeinen falsch, Gegenbeispiel:
Sei [m]K[/m] ein beliebiger Körper, [m]V:=K^2[/m], [m]U_1:=K\times\{0\}[/m], [m]U_2:=\{0\}\times K[/m] und [m]f:V\rightarrow V,(a,b)\mapsto(a+b,0)[/m]
Man rechnet leicht nach, dass die Voraussetzungen erfüllt sind und es gilt:
[m]f(U_1)\cap f(U_2) = U_1\cap U_1 = U_1[/m] und [m]f(U_1\cap U_2) = f(\{0\}) = \{0\}[/m]
Also
[m]f(U_1)\cap f(U_2)\neq f(U_1\cap U_2)[/m]
|
|
|
| |
|
(i) gilt wegen Linearität
(ii) Sei [mm] V=\IR^2, [/mm] U1=<(1,0)>, U2=<(1,1)>, f : V->V ; (x,y)->(x,0)
Dann gilt: U1 [mm] \cap [/mm] U2 = 0, also auch f(U1 [mm] \cap [/mm] U2) = 0
Aber f(U1)=U1 und f(U2)=U1, also f(U1 [mm] \cap [/mm] U2)=U1 [mm] \not= [/mm] 0
(iii) Hier geht man so vor:
v [mm] \in [/mm] f^(-1)(U1) + f^(-1)(U2) <=>
v=v1+v2 [mm] \in [/mm] f^(-1) (U1) + f^(-1) U2) (mit vi [mm] \in [/mm] f^(-1)(Ui) <=>
f(v1) +f(v2) [mm] \in [/mm] U1 + U2 <=>
f(v) = f(v1) + f(v2) [mm] \in [/mm] U1 + U2 <=>
v in f^(-1)(U1 + U2)
(iv) Das gilt sogar für beliebige Abblidungen f : X -> Y
x [mm] \in [/mm] f^(-1)(X [mm] \cap [/mm] Y) <=>
f(x) [mm] \in [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y <=>
f(x) [mm] \in [/mm] X und f(x) [mm] \in [/mm] Y <=>
x [mm] \in [/mm] f^(-1)(X) und x [mm] \in [/mm] f^(-1)(Y) <=>
x [mm] \in [/mm] f^(-1)(X) [mm] \cap [/mm] f^(-1)(Y)
|
|
|
|
