allg. Lösung für Störfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | y´´+4y´+4y=f(x)
f(x)=50sinx |
Hallo,
zu aller erst, es ist das erste Mal, daß ich überhaupt ein Hilfeforum nutze!
Soll heißen: Fehler jeglicher Art bitte ich zu entschuldigen ;o)
Nun zu meinem Problem: ich muß mich mit Störfunktionen auseinandersetzen. Da ich aber aus gesundheitlichen Gründen länger nicht an Vorlesungen teilnehmen konnte muß ich es mir irgendwie selbst beibringen. Hoffe ihr könnt mir helfen?!
Wie berechne ich solche Aufgaben? (Bitte mit Lösungsweg und wenn es geht nicht ganz so arg im Fachchinesisch)
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe und Verständnis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> y´´+4y´+4y=f(x)
> f(x)=50sinx
> Hallo,
> zu aller erst, es ist das erste Mal, daß ich überhaupt ein
> Hilfeforum nutze!
> Soll heißen: Fehler jeglicher Art bitte ich zu
> entschuldigen ;o)
> Nun zu meinem Problem: ich muß mich mit Störfunktionen
> auseinandersetzen. Da ich aber aus gesundheitlichen Gründen
> länger nicht an Vorlesungen teilnehmen konnte muß ich es
> mir irgendwie selbst beibringen. Hoffe ihr könnt mir
> helfen?!
> Wie berechne ich solche Aufgaben? (Bitte mit Lösungsweg
> und wenn es geht nicht ganz so arg im Fachchinesisch)
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe und Verständnis.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ein Lösungsansatz von dir wäre hilfreich für uns gewesen, damit man wüsste wo Du denn stehst mit deinen Kenntnissen. (Siehe auch Forenregeln.)
Wenn es nur um die Störfunktion geht, dann weißt Du vermutlich, wie man die homogene Gleichung löst?
$y''+4y'+4y=50sin(x)$
$y''+4y'+4y=0$
[mm] $\lambda^2+4\lambda+4=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_{1,2}=-2$
[/mm]
[mm] $y_h=(C_1*x+C_2)*e^{-2x}$
[/mm]
Dann der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm] $y_p=Asin(x)+Bcos(x)$
[/mm]
[mm] $y_p'=Acos(x)-Bsin(x)$
[/mm]
[mm] $y_p''=-Asin(x)-Bcos(x)$
[/mm]
Einsetzen in die DGL:
$-Asin(x)-Bcos(x)+4Acos(x)-4Bsin(x)+4Asin(x)+4Bcos(x)=50sin(x)$
$(3A-4B)sin(x)+(3B+4A)cos(x)=50sin(x)$
I 3A-4B = 50
II 3B+4A = 0
A=6 B=-8
[mm] $y_p=6sin(x)-8cos(x)$
[/mm]
[mm] $y=y_h+y_p=(C_1*x+C_2)*e^{-2x}+6sin(x)-8cos(x)$
[/mm]
Eine eingängige Einführung in gewöhnliche DGL findest Du u. a. in: L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd. II. Steht bestimmt in jeder Hochschulbibliothek.
LG, Martinius
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Hallo,
wie schon gesagt, es ist das erste Mal das ich solche Foren nutze, deshalb Sorry wegen irgendwelchen Fehlern.
Aber erstmal großes Danke für die schnelle Hilfe :o)
Hab aber noch ne Frage:
hab hier das vorgegebene Ergebnis: [mm] y=(C_{1}+C_{2}*x)e^{-2x}+6sinx-8cosx
[/mm]
Nun fällt mir da auf, das bei Dir das x nicht bei C2 sondern C1 steht.
Ist das nur ein Schreibfehler?
Weil, glaube nicht das man das X einfach irgendwo hinschreiben kann?!
(hoffe mal das die Frage jetzt nicht zu blöd ist ;o) )
Nochmals Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Onkel-Timmy
in diesem Fall ist es egal ob nun das x bei [mm] C_1 [/mm] oder bei [mm] C_2 [/mm] steht. [mm] C_i [/mm] sind irgendwelche Konstanten aus der Menge der reellen Zahlen. Welche nun welche ist, weis man ja vorher nicht 
Das x wird hinzugefügt, damit deine Lösungsfunktionen unabhängig voneinander werden. Stell dir vor du hast die beiden Lösungen [mm] y_1=A_1*e^x [/mm] und [mm] y_2=A_2*e^x [/mm] - dann wäre aber mit [mm] y=y_1+y_2:
[/mm]
[mm] A_1*e^x+A_2*e^x=D*e^x
[/mm]
aus folgendem Grund:
[mm] A_1*e^x+A_2*e^x=\underbrace{(A_1+A_2)}_{=D}*e^x=D*e^x
[/mm]
und schwups hast du nur noch eine Lösung. Um das zu verhindern wird eine Lösungsfunktion mit x multipliziert. Ob das aber nun die "erste" oder "zweite" ist, spielt keine Rolle.
Liebe Grüße
Herby
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Man ey, ich muß sagen ich bin echt begeistert!!
Solch fixe (und endlich auch mal verstänliche) Antworten hätte ich nicht erwartet!! Ganz ehrlich!
Daumen hoch an dieser Stelle und vielen, vielen Dank
Grüssen Onkel Timmy
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