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| Aufgabe | Sei (X,<,>) ein Prähilbertraum und P:X [mm] \to [/mm] X sei linear.
Dann sind äquivalent:
(a) <x-Px,Py>=0 für alle x,y [mm] \in [/mm] X
(b) [mm] P^{2}=P [/mm] und <Px,y>=<x,Py> für alle x,y [mm] \in [/mm] X
(c) [mm] P^{2}=P [/mm] und [mm] \parallel [/mm] P [mm] \parallel \le [/mm] 1
(d) [mm] \parallel [/mm] x-Px [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x-Py [mm] \parallel [/mm] für alle [mm] x,y\in [/mm] X, d.h. Px ist die Bestapproximationan x in P(X) |
hallo,
ich habe mich an dieser aufgabe mal ein wenig versucht, komme jedoch nicht weiter.
folgendes habe ich:
[mm] (a)\Rightarrow(b): [/mm] <x-Px,Py>=0
linearität des skalarproduktes: <x-Px,Py>=<x,Py>-<Px,Py>=0
[mm] \Rightarrow [/mm] <x,Py>=<Px,Py>
linearität von P: [mm] P=P^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1. [mm] P^{2}=P
[/mm]
2. [mm] P=P^{2} |*P^{-1} (P\not=0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] <x,y>=P<x,y>=(linear im ersten argument)<Px,y>=(linear im zweiten argument)<x,Py>
[mm] (a)\Rightarrow(c):sei [/mm] x [mm] \in [/mm] X, [mm] x\not= [/mm] 0 beliebig und u=Px und w=(I-P)x.
dann gilt nach (a):<w,u>=<u,w>=0 und daher [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel^{2}= \parallel [/mm] u+v [mm] \parallel^{2}= \parallel [/mm] u [mm] \parallel^{2} [/mm] + 2<u,w> + [mm] \parallel [/mm] w [mm] \parallel^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel [/mm] Pf [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel^{2} \le \parallel [/mm] u [mm] \parallel^{2} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] w [mm] \parallel^{2} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel^{2}
[/mm]
Daraus folgt [mm] \parallel [/mm] P [mm] \parallel \le [/mm] 1
[mm] (a)\Rightarrow(d):aus [/mm] (a) folgt <x,Py>=<Px,Py> daraus folgt x=Px (irgendwie seltsam???:)) [mm] also:\parallel [/mm] x-Px [mm] \parallel =\parallel [/mm] Px-Px [mm] \parallel =\parallel [/mm] 0 [mm] \parallel =0\le \parallel [/mm] x-Py [mm] \parallel [/mm]
(gilt doch immer, da [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel \ge [/mm] 0
sooo,
leider ist das keine äquivalenzkette und ich bin mir bei den einzelnen beweisen auch nicht sicher....
bitte um hilfe
grüße simplify
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 26.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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