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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 22.04.2009 | | Autor: | mightyDo |
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> Hallo,
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> ich habe folgendes Problem: Ich möchte einen
> Sonnennachführungsalgorithmus entwerfen. Hierzu kenne ich
> den Richtungsvektor des Sonnenstrahls. Nun möchte ich eine
> Ebene finden die den Strahl schneidet und aus Sicht der
> Sonne die meiste Fläche darbietet.
Hallo mightyDo,
das sollte doch wohl einfach eine Normalebene
zum Sonnenstrahl sein. Wenn dessen Richtungs-
vektor bekannt ist, ist der ein Normalenvektor
zur Ebene.
Was genau ist denn wirklich gegeben und was
gesucht ? Soll die zeitliche Nachführung auch
berechnet werden ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Do 23.04.2009 | | Autor: | mightyDo |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:26 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> das Forum hier ist ein wenig gewöhnungsbdürftig... alles so
> seltsam gemacht =)
Man gewoehnt sich dran 
> Also zum Theme: Ich möchte mir einen Solarzellentracker
> bauen. Der soll nur eine bewegliche Achse haben, und zwar
> die Nord-Süd Achse.
>
> Bekannt ist mir der Azimut der Sonne und der Höhenwinkel
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenstand) zum Zeitpunlt T.
> Mein System setzte ich einfach an den Punkt (0,0,0).
>
> Ich suche jetzt ein Verfahren um die Solarzelle optimal zum
> Sonnenstand auszurichten. Meine Überlegung bis jetzt ist
> folgende: Aus den Kugelkoordinaten "normale" Koordinaten
> (x,y,z) umformen.
Also die Sonne liegt auf der Geraden, die durch $(0, 0, 0)$ und $(x, y, z)$ geht.
Du suchst jetzt eine Ebene, die eine Drehung der $xy$-Ebene (sagen wir mal $z$ geht nach oben) um die $x$-Achse (die Nord-Sued-Achse) darstellt (sprich, die $y$-Achse als West-Ost-Achse liegt immer noch in der Ebene) und die moeglichst orthogonal zu dem Vektor $(x, y, z)$ ist.
Soweit, so gut.
Beschreiben wir die Ebene durch den Drehwinkel [mm] $\alpha$. [/mm] Dann wird die Ebene von den Vektoren [mm] $v_1 [/mm] = (1, 0, 0)$ (die Nord-Sued-Achse, um die gedreht wird) und [mm] $v_2 [/mm] = (0, [mm] \cos \alpha, \sin \alpha)$ [/mm] aufgespannt -- der zweite Vektor zeigt in Richtung der um [mm] $\alpha$ [/mm] um die Nord-Sued-Achse gedrehten West-Ost-Achse.
Alle Vektoren, die senkrecht zu dieser Ebene stehen, sind nun Vielfache von [mm] $v_1 \times v_2 [/mm] = (0, [mm] -\sin \alpha, \cos \alpha)$ [/mm] (Stichwort: Vektorprodukt).
Du willst also, dass dieser Vektor moeglichst parallel zu $(x, y, z)$ ist. Nun beachte eine weitere Eigenschaft des Vektorprodukts: die Laenge von $(x, y, z) [mm] \times [/mm] (0, [mm] -\sin \alpha, \cos \alpha)$ [/mm] ist die Laenge von $(x, y, z)$ mal die Laenge von $(0, [mm] -\sin \alpha, \cos \alpha)$ [/mm] (die ist immer 1) mal den Betrag vom Sinus vom Winkel zwischen den beiden Vektoren. Und den Betrag des Winkels moechtest du moeglichst klein haben, und der ist grad moeglichst klein wenn der Betrag vom Sinus moeglichst klein ist (der Winkel ist vom Betrag her echt kleiner als 180 Grad).
Also musst du die Laenge vom Vektorprodukt $(x, y, z) [mm] \times [/mm] (0, [mm] -\sin \alpha, \cos \alpha) [/mm] = (y [mm] \cos \alpha [/mm] + z [mm] \sin \alpha, [/mm] x [mm] \cos \alpha, [/mm] -x [mm] \sin \alpha)$ [/mm] minimieren. Genausogut kannst du das Quadrat der Laenge minimieren; dies ist naemlich $(y [mm] \cos \alpha [/mm] + z [mm] \sin \alpha)^2 [/mm] + (x [mm] \cos \alpha)^2 [/mm] + (-x [mm] \sin \alpha)^2$.
[/mm]
Jetzt ist allerdings $(x [mm] \cos \alpha)^2 [/mm] + (-x [mm] \sin \alpha)^2 [/mm] = x [mm] (\cos^2 \alpha [/mm] + [mm] \sin^2 \alpha) [/mm] = x$, womit das ganze gleich $(y [mm] \cos \alpha [/mm] + z [mm] \sin \alpha)^2 [/mm] + x$ ist.
Da $x$ fest ist, reicht es aus $(y [mm] \cos \alpha [/mm] + z [mm] \sin \alpha)^2$ [/mm] zu minimieren. Dies kann allerdings keine negativen Werte annehmen (wegen dem Quadrat), deswegen reicht es aus [mm] $\alpha$ [/mm] so zu waehlen das es 0 ist (wenn dies moeglich ist).
Moeglich ist das allerdings. Dazu betrachte die Matrix [mm] $\pmat{ y & - \sin \alpha \\ z & \cos \alpha }$; [/mm] die Determinante davon ist gerade $y [mm] \cos \alpha [/mm] + z [mm] \sin \alpha$. [/mm] Wir versuchen also die Determinente auf 0 zu bringen.
Hier gibt es nun zwei Faelle:
a) $(y, z) = (0, 0)$. Dies ist genau dann der Fall, wenn man die Ebene drehen kann wie man will und die Sonne scheint immer gleichwenig (naemlich: gar nicht) auf die Ebene.
b) $(y, z) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$, dann hat man etwas Sonnenschein. In diesem Fall ist die Determinante genau dann 0, wenn $(y, z)$ ein Vielfaches von [mm] $(-\sin \alpha, \cos \alpha)$ [/mm] ist. Da die Laenge des zweiten Vektors 0 ist, normiert man einfach den Vektor $(y, z)$, berechnet also $L = [mm] \sqrt{y^2 + z^2} [/mm] > 0$ und schon hat man [mm] $-\sin \alpha [/mm] = y / L$ und [mm] $\cos \alpha [/mm] = z / L$. Daraus bekommt man entweder [mm] $\alpha$ [/mm] heraus, oder setzt direkt [mm] $\sin \alpha [/mm] = -y / L$ und [mm] $\cos \alpha [/mm] = z / L$ in den zweiten Richtungsvektor der Ebene ein.
LG Felix
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Guten Morgen !
> das Forum hier ist ein wenig gewöhnungsbdürftig... alles so
> seltsam gemacht =)
.... aber zweckmässig, du wirst sehen ....
> Also zum Theme: Ich möchte mir einen Solarzellentracker
> bauen. Der soll nur eine bewegliche Achse haben, und zwar
> die Nord-Süd Achse.
Also eine Achse parallel zur Rotationsachse der Erde, wenn
ich dich richtig verstehe. Das nördliche Ende der Achse, auf
der das Solarpanel befestigt ist, würde also dorthin zeigen,
wo man bei klarer Nacht den Polarstern sieht. Das macht
auch Sinn, denn die scheinbare Bewegung der Sonne
über den Tageshimmel wird ja genau durch die Erdrotation
hervorgerufen.
> Bekannt ist mir der Azimut der Sonne und der Höhenwinkel
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Sonnenstand) zum Zeitpunlt T.
Wenn du wirklich von Azimut und Höhenwinkel ausgehen
willst und gerne mit komplexen Formeln umgehst, kannst
du das natürlich machen. Natürlicher - und viel einfacher
wäre es aber für dein Problem, nicht vom Azimutsystem,
sondern vom äquatorialen Koordinatensystem auszugehen.
Dort stellt sich die tägliche Bewegung der Sonne viel
einfacher dar. Die Formeln für Azimut und Höhe, die du
im angegebenen Wiki-Artikel gefunden hast, sind nämlich
durch eine Koordinatentransformation aus den einfacheren
Formeln im Aequatorialsystem hergeleitet. Diese Formeln
jetzt quasi wieder zurückzutransformieren ist ein mühsamer
Umweg. Die Anwendung der Azimut-Höhen-Formeln macht
dann wirklich Sinn, wenn die Solarzellen auch azimutal
montiert sind, mit zwei Achsen: die eine vertikal, also
senkrecht zum Erdboden, die andere zur ersten senkrecht -
also horizontal. In diesem Fall ist es notwendig, z.B. jede
halbe Stunde um beide Achsen eine Korrektur vorzunehmen.
Montiert man aber die Panels auf polar ausgerichteten
Achsen, so wäre als tägliche Nachführung nur die
einfache Rotation nötig. Das geht mit einem konstant
laufenden Schrittmotor ohne jeden weiteren Algorithmus.
Man müsste dann nur noch dafür sorgen, dass die Panels,
die Abends gegen Westen ausgerichtet sind, vor dem
kommenden Morgen wieder gegen den östlichen
Horizont ausgerichtet werden, wo die Sonne wieder
aufgeht (sie nachts weiter drehen zu lassen macht ja
kaum Sinn und ist möglicherweise auch technisch
gar nicht machbar).
Nötig wäre dann nur vielleicht etwa wöchentlich eine
kleine Korrektur in Rektaszension, weil die Sonne z.B.
jetzt im Frühling allmählich höher über die Aequatorial-
ebene steigt.
Beachte auch, dass kleine Abweichungen von der idealen
Ausrichtung die Ausbeute an eingefangenem Licht nur
minimal beeinflussen. Das liegt daran, dass die Cosinus-
werte für kleine Winkel sehr nahe bei 1 liegen. Zeigen
also die Panels z.B. um 10° "daneben", so hat man immer
noch 98.5% der maximalen Leistung.
Wenn es dir also um die technische Realisierung - und
weniger um einen "exakten" Algorithmus geht, so
konzentrierst du deine Kräfte fast besser auf die weiteren
technischen Herausforderungen.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Do 23.04.2009 | | Autor: | mightyDo |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Sa 09.05.2009 | | Autor: | mightyDo |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 13.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 11.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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