algebraische Zahlen abzählbar < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mo 08.11.2010 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | | eine Zahl a in [mm] \IR [/mm] heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Zeigen Sie, dass die algebraischen Zahlen abzählbar sind. Benutzen Sie hierfür, dass sowohl [mm] \IQ [/mm] als auch [mm] \IQ^n, [/mm] n in [mm] \IN, [/mm] abzählbar sind. |
Hallo Leute,
diesen "Standartbeweis" habe ich noch nicht ganz verinnerlicht. Klar ist (für mich zumindest), dass sowohl die Koeffizienten als auch die Potenzen abzählbar sind. Aber wie kann ich nun weiter folgern?!?
ich hoffe, ihr könnt mir da helfen...
viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
die gleiche Frage findest Du hier, wenn auch in ganz anderer Verkleidung.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
falls du keinen Pakt mit dem Teufel eingehen willst: 
> eine Zahl a in [mm]\IR[/mm] heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle
> eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Zeigen
> Sie, dass die algebraischen Zahlen abzählbar sind.
> Benutzen Sie hierfür, dass sowohl [mm]\IQ[/mm] als auch [mm]\IQ^n,[/mm] n in
> [mm]\IN,[/mm] abzählbar sind.
> Hallo Leute,
> diesen "Standartbeweis" habe ich noch nicht ganz
> verinnerlicht. Klar ist (für mich zumindest), dass sowohl
> die Koeffizienten als auch die Potenzen abzählbar sind.
> Aber wie kann ich nun weiter folgern?!?
Damit bist du doch schon fast fertig.
Die Menge der algebraischen Zahlen ist doch genau die Menge aller Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten.
Wie viele Polynomen mit rationalen Koeffizienten gibt es denn?
Und wie viele Nullstellen kann ein solches Polynom höchstens besitzen?
Wenn du benutzen darfst (oder dir selbst überlegst), dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist, bist du fertig.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 08.11.2010 | | Autor: | StefanK. |
Hallo Marc,
es gibt doch n*(n+1) Polynome mit rat. Koeffizienten, oder? (Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich sie bestimme). Gibt es dann auch genauso viele Nullstellen?!? - sry, ich stehe gerade auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Zahlen sind völlig unwichtig, es geht nur darum, ob sie abzählbar sind oder nicht.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Mo 08.11.2010 | | Autor: | hug0r |
ana III, neff? ;)
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