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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:14 So 14.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi Allerseits!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich beschäftige mich zur Zeit mit den verschiedenen algebraischen Strukturen (wie Halgruppe, Monoid, Gruppe, Ring, Körper, ...) und habe teilweise Probleme in konkreten Fällen zu zeigen, daß in einer Struktur eine Eigenschaft gilt (also z.B. Assoziativität oder Distributivgesetze)
Hier ein Beispiel:
Man soll bei den folgenden Strukturen untersuchen, ob es sich um Halbringe, Ringe oder Körper handelt:
a) M={0,1,2,3} mit der Addition modulo 4 und dem Produkt x*y = 1 für alle x,y [mm]\in[/mm] M
b) M={a,b} mit der Addition a+a = a, a+b = b+a = a, b+b = b und der Multiplikation a*a = a, a*b = b*a = b, b*b = b
Ich möchte jetzt nicht die genauen Details anführen (außer es wird noch gewünscht), welche Eigenschaften die Strukturen haben müssen, um Halbring, Ring oder Körper zu sein.
Für Beispiel a) erhalte ich, daß es sich bei <M,+> um eine abelsche Gruppe handelt und <M,*> eine abelsche Halbgruppe (kein Einheitselement,keine Inversen), die Distributivgesetze gelten und deswegen die Struktur <M,+,*> ein abelscher Ring ist.
Für Beispiel b) erhalte ich, daß <M,+> eine abelsche Gruppe ist und <M,*> ein abelsches Monoid (b hat kein Inverses) und deswegen die Struktur <M,+,*> ein abelscher Ring mit Einselement.
Kann das stimmen?
Bei beiden Beispielen konnte ich nur durch Probieren beweisen, daß die Assoziativität gilt und im zweiten Beispiel die Distributivgesetze gelten. Aber das geht nur bei kleinen Mengen, bei größeren kann man nur schwer alle Fälle durchprobieren. Deswegen muß man das ja auch irgendwie allgemein für einen konkreten Fall beweisen können.
Bei Beispiel a) fällt mir noch auf, daß <M,+> den Restklassen modulo 4 mit der Addition entspricht ( also <[mm]\IZ_{4}[/mm],+>) und da <[mm]\IZ_{4}[/mm],+> abelsche Gruppe ist, ist auch <M,+> abelsche Gruppe. Aber wenn man dies nun nicht weiß, wie zeigt man es dann?
Ich hoffe, ich habe das ganze nicht zu verwirrend geschrieben und es macht sich auch jemand die Mühe, so viel zu lesen.
lg
Felidae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Felidae |
hi!
hat niemand eine Idee? *snief*
Felidae
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