algebr./geom. Vielfachheit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ganz kurze Frage - wie kann man beweisen, dass die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes immer größer oder gleich der geometrischen ist?
Gab es das Thema schonmal irgendwo und ich hab es nur nicht gefunden? Ansonsten: Hat da jemand einen Tip? Das wäre super!!
Danke schonmal 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 04.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
nur mal so als Anregung:
Bilde doch einmal eine Basis des Vektorraums, die so viele Eigenvektoren wie möglich enthält (wie viele wären das pro Eigenwert?) und betrachte dann die Matrixdarstellung des Endomorphismus bezüglich dieser Basis.
Ich hoffe, damit kommst Du weiter!
Gruß
piet
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Danke für den Tip, aber irgendwie steh ich noch ziemlich auf der Leitung...
Ich nehme mal an, dass es zu jedem Eigenwert auch mindestens einen Eigenvektor gibt. (Stimmt das überhaupt???)
Dann hätte ich ich schonmal mindestens soviele Eigenvektoren wie verschiedene Eigenwerte in dieser Basis, oder?!? Weil ja diese EV lin. unabh. wären...
"und betrachte dann die Matrixdarstellung des Endomorphismus bezüglich dieser Basis" - ich versteh das grade beim besten Willen nicht - sorry - kannst Du das nochmal ganz kurz erklären...? Das wäre echt nett...!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 05.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Danke für den Tip, aber irgendwie steh ich noch ziemlich
> auf der Leitung...
> Ich nehme mal an, dass es zu jedem Eigenwert auch
> mindestens einen Eigenvektor gibt. (Stimmt das
> überhaupt???)
> Dann hätte ich ich schonmal mindestens soviele
> Eigenvektoren wie verschiedene Eigenwerte in dieser Basis,
> oder?!? Weil ja diese EV lin. unabh. wären...
>
Mindestens einer ist schon mal gut. Wenn man ganz genau sein will gibt es natürlich immer unendlich viele, weil ja jedes Vielfache eines Eigenvektors auch wieder ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert ist.
Aber eigentlich interessieren uns für die Basisbestimmung nur linear unabhängige Eigenvektoren.
Für die Aufgabe ist aber interessant, dass die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert ja genau die geometrische Vielfachheit ist.
> "und betrachte dann die Matrixdarstellung des
> Endomorphismus bezüglich dieser Basis" - ich versteh das
> grade beim besten Willen nicht - sorry - kannst Du das
> nochmal ganz kurz erklären...? Das wäre echt nett...!
>
In der Matrixdarstellung stehen doch in den Spalten immer die Bilder der entsprechenden Basisvektoren.
Ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und wähle ich den als ersten Basisvektor, dann hat v (bezüglich dieser Basis) ja die Koordinatendarstellung [mm] \vektor{1\\0\\ \ldots\\0}. [/mm] Wegen der Eigenschaft "Eigenvektor" hat sein Bild dann die Koordinaten [mm] \vektor{\lambda\\0\\ \ldots\\0}, [/mm] und das wäre dann die erste Spalte der Matrix.
Das ganze kannst Du dann ja soweit durchziehen, bis Du keine neuen Egienvektoren mehr in die Basis aufnehmen kannst. Dann hast Du eine (zumindest in den ersten Spalten) recht übersichtliche Matrix und kannst dann mal versuchen, ob Du für die das charakteristische Polynom (zumindest teilweise) bestimmen kannst.
Gruß
piet
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Ok, danke für die Mühe erstmal!
Also, ich habe eine Basis gebildet, in der höchstens so viele Eigenvektoren sind, wie die algebraische Vielfachheit, oder? (Warum eigentlich nicht genausoviele?)...
Dann die Matrix bzgl. dieser neuen Basis:
"Das ganze kannst Du dann ja soweit durchziehen, bis Du keine neuen Egienvektoren mehr in die Basis aufnehmen kannst"
ich glaube bis dahin ist mir das einigermaßen klar. Dann bekomme ich die Matrix in Zeilenstufenform, oder? Und die kann dann nurnoch höchstens den Rang
(n - "Anzahl der Basiselemente aus Eigenvektoren") haben, ist das richtig?
Aber was bringt mir das ganze und wozu brauche ich das char. Polynom??? Ich kapier gerade garnichts mehr....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Do 06.07.2006 | | Autor: | piet.t |
> Ok, danke für die Mühe erstmal!
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> Also, ich habe eine Basis gebildet, in der höchstens so
> viele Eigenvektoren sind, wie die algebraische
> Vielfachheit, oder? (Warum eigentlich nicht
> genausoviele?)...
Es sind pro Eigenwert genau so viele wie die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts! Denn die geom. Vielfachheit ist definiert als die Dimension des Eigenraums und das ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren (zu diesem Eigenwert).
Die beiden verschiedenen Vielfachheiten kommen einfach aus der unterschiedlichen Betrachtungsweise von Eigenvektoren:
Geom. Vielfachheit = Dimension des Eigenraums
Alg. Vielfachheit = Vielfachheit der Nullstelle des char. Polynoms.
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> Dann die Matrix bzgl. dieser neuen Basis:
>
> "Das ganze kannst Du dann ja soweit durchziehen, bis Du
> keine neuen Egienvektoren mehr in die Basis aufnehmen
> kannst"
>
> ich glaube bis dahin ist mir das einigermaßen klar. Dann
> bekomme ich die Matrix in Zeilenstufenform, oder? Und die
> kann dann nurnoch höchstens den Rang
> (n - "Anzahl der Basiselemente aus Eigenvektoren") haben,
> ist das richtig?
Nein, Zeilenstufenform ist es nicht. Die Matrix besteht aus zwei Blöcken; der vordere (der "Eigenvektorblock") hat von Null verschiedene Einträge nur auf der Hauptdiagonalen, der zweite Block kann fast beliebig aufgebaut sein:
[mm]\pmat{\begin{matrix}\lambda_1&0&0
\\0&\lambda_1&0\\0&0&\lambda_2\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}&\fbox{\begin{matrix}&&&\\&&&\\&&&\\&&&\end{matrix} }}[/mm]
Hier ein Beispiel, bei dem die geom. Vielfachheit von [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 und die von [mm] \lambda_2 [/mm] = 1 ist. Was in dem Kasten steht weiss man nicht!
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> Aber was bringt mir das ganze und wozu brauche ich das
> char. Polynom??? Ich kapier gerade garnichts mehr....
>
Das charakteristische Polynom brauchen wir jetzt, um etwas über die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte sagen zu können.
Bei der gegebenen Form der Matrix kann man ja schon einiges über die Nullstellen des char. Polynoms sagen, ohne dass man den Ihalt des Kastens kennen muss. Was nämlich?
Und was folgt daraus für die algebraische Vielfachheit?
Gruß
piet
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Ok, ok... ich glaube, langsam komme ich dahinter... vielen Dank für die ganze Mühe, ich finde es echt super, dass es Leute gibt, die sich die Zeit nehmen, so etwas zu beantworten!
Also... ich denke, ich kapier es langsam.
Jetzt weiß ich, wenn ich nach der 1. ... 2. ... usw. Spalte entwickeln würde, dass die [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] auf jeden Fall schon mal Nullstellen des char. Pol. sind. Und zwar genau in der Vielfachheit wie in der geometrischen, oder?
Und aus dem Kasten können dann eventuell noch andere "dazu kommen". Also ist die algebraische Vielfachheit größer oder gleich der geometrischen.
Ist das richtig so?
Aber, kurze Frag noch, falls das jetzt richtig gedacht war - was ist dann, wenn ich für die geometrische Vielfachheit einer n [mm] \times [/mm] n Matrix genau n erhalte? Dann müsste doch die Matrix bzgl. unserer neuen Basis eine komplette Diagonalmatrix sein und damit die algebraische Vielfachheit genau gleich der geometrischen, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 08.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Ok, ok... ich glaube, langsam komme ich dahinter... vielen
> Dank für die ganze Mühe, ich finde es echt super, dass es
> Leute gibt, die sich die Zeit nehmen, so etwas zu
> beantworten!
>
> Also... ich denke, ich kapier es langsam.
wenn ich mir Deinen Post so durchlese denke ich das auch ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
>
> Jetzt weiß ich, wenn ich nach der 1. ... 2. ... usw.
> Spalte entwickeln würde, dass die [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] auf
> jeden Fall schon mal Nullstellen des char. Pol. sind. Und
> zwar genau in der Vielfachheit wie in der geometrischen,
> oder?
Jepp!
>
> Und aus dem Kasten können dann eventuell noch andere "dazu
> kommen". Also ist die algebraische Vielfachheit größer oder
> gleich der geometrischen.
>
> Ist das richtig so?
>
So hatte ich mir das gedacht.
> Aber, kurze Frag noch, falls das jetzt richtig gedacht war
> - was ist dann, wenn ich für die geometrische Vielfachheit
> einer n [mm]\times[/mm] n Matrix genau n erhalte? Dann müsste doch
> die Matrix bzgl. unserer neuen Basis eine komplette
> Diagonalmatrix sein und damit die algebraische Vielfachheit
> genau gleich der geometrischen, oder nicht?
...da die Matrix ja mehrere Eigenwerte haben kann würde ich an dieser Stelle lieber von der "Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte" reden![[belehren]](/images/smileys/belehren.gif "[belehren]") , aber das ist mir ehrlich gesagt auch zu lang. Aber Du hast schon recht: In diesem Fall findet man ja eine komplette Basis aus Eigenvektoren, und bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Diagonalmatrix dargestellt. Man sagt auch die Matrix ist diagonalisierbar.
Und da die algebraischen Vielfachheiten zusammen auch höchstens n ergeben können müss dann folglich auch algebraische und geometrische Vielfachheit für jeden Eigenwert gleich sein.
Gruß
piet
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Juhuuuu! Danke!! Jetzt kapiere ich auch so nebenbei mal das Kriterium für Diagonalisierbarkeit, nämlich, dass das char. Pol. in Linearfaktoren zerfällt und die "Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte" gleich der "Summe der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte" sein muss!! Super, jetzt ist alles klar!
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