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Hallo,
ich habe hier ein problem d'bei der aufgabe weil ich nicht weiss wie diese aussagen zusammenhaengen. Kann mir bitte Hinweise geben?
sien V ein K-VR und sei L ein affiner UR. Seien y0,...,yn [mm] \in [/mm] L paarweise verscheiden.
z.z. Aequivalente aussagen:
a) Ist L' Teilmenge von L ein affiner UR von V mit dim(l") kleiner gleich n-1, so ex. ein 0 kleiner gleich i kleiner gleich n mit yi nicht element L'.
b) die vektoren y1-y0,...yn-y0 sind linear unabhaengig.
Danke fuer die Tipps!!!!!!!
Danke,
frosch
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Ich habe versucht eine eigene lösung zu machen, ich weiß aber nicht, ob mein vborgehensweg richtig ist, also so hab ich es jetzt mal gemacht:
DAs ist hier ist Richtung a) nach b):
Sei y'_{i} [mm] \in [/mm] L' mit L'= y'_{i}+U={ [mm] y'_{i}+x|x\in [/mm] U} [mm] \subseteq [/mm] L = y+U={y+x|x [mm] \in [/mm] U}.
Setze x= - [mm] y_{0} [/mm]
Dann [mm] y_{1}- y_{0}, y_{1}- y_{0},..., y_{n}- y_{0} \in [/mm] L mit
[mm] (y_{1}- y_{0})+( y_{1}- y_{0})+...+( y_{n}- y_{0}) [/mm] =0 . dann ist doch [mm] y_{1}=...= y_{n}=0.
[/mm]
Das heißt doch, dass dim L'=n, das ist ein widerspruch zu a). Die andere richtung hab ich keine ahnung.
Wetterfrosch.
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 24.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Wetterfrosch
Für die Umkehrung würde ich so argumentieren, wenn
[mm] $y_1-y_0, \dots, y_n-y_0$ [/mm] linear unabhängig sind, und alle [mm] $y_i$ [/mm] in $L'$ liegen,
dann wäre $L'$ ja mindestens n-dimensional (wie definiert man die Dimension eines affinen Unterraums?), was also einen Widerspruch bedeutet.
Also kann die Annahme, dass alle [mm] $y_i$ [/mm] in $L'$ liegen nicht richtig sein.
Ich hab deinen Beweis nicht so richtig verstanden, habe ihn aber auch nicht genau studiert.
Die Bezeichnungen sind nicht gerade lesefreundlich, mit all diesen Strichen  .
mfG Moudi
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hallo,
danke erstmal für deine Hilfe. ich glaub ich kann damit etwas anfangen und die aufgabe lösen. kannst du bitte doch schauen, ob von a) nach b) alles in ordunung ist? wenn nicht, kannst du mir bitte helfen oder sagen, wie der beweis richtig geht? Ich komm von allein nicht drauf.
Danke. Für die vielen Striche kann ich nix, da ist unser Prof daran schuld 
Wetterfrosch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Wetterfrosch
Ich zeige die Kontraposition, [mm] ($\mathcal A\Rightarrow\mathcal [/mm] B$ ist logisch äquivalent zu
[mm] $\neg\mathcal [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg\mathcal [/mm] A$.)
Seien also [mm] $y_1-y_0,\dots,y_n-y_0$ [/mm] linear abhängig, dann ist der von diesen Vektoren erzeugte lineare Unterraum [mm] $W=\mathrm{span}(y_1-y_0,\dots,y_n-y_0)$ [/mm] höchstens $n-1$-dimensional.
(Ist $L=x+U$, so ist die Differenz von 2 Vektoren aus L stets in U, daraus folgt, dass [mm] $W\subseteq [/mm] U$).
Dann ist [mm] $y_0+W$ [/mm] ein affiner Unterraum von L, der alle Vektoren [mm] $y_0,y_1,\dots,y_n$ [/mm] enthält. Es gibt also einen affinen Unterraum [mm] $L'\subseteq [/mm] L$ der alle Vektoren [mm] $y_0,y_1,\dots,y_n$ [/mm] enthält und der höchstens $n-1$-dimensional ist, das ist die Negation von a).
Denn a) ist die Aussage, dass jeder höchstens $n-1$-dimensionale affine Unterraum von L nicht alle Vektoren [mm] $y_0,y_1,\dots,y_n$ [/mm] enthält.
mfG Moudi
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