affine Abbildung aufstellen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Chryssy |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es seien die Punkte [mm] p_{0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] , [mm] p_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] , [mm] p_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] im [mm] \IR^{2} [/mm] bezüglich der kanonischen Einheitsbasis [mm] E=(e_{1} [/mm] , [mm] e_{2}) [/mm] gegeben.
a.) Zeigen Sie, dass P = [mm] (p_{0} [/mm] , [mm] p_{1} [/mm] , [mm] p_{2}) [/mm] ein Koordinatensystem für [mm] \IR^{2} [/mm] ist.
b.) Stellen Sie eine affine Abbildung [mm] \mu [/mm] (p) = b + Ax auf, für die [mm] \mu (p_{0}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] , [mm] \mu (p_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \mu (p_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2} [/mm] gilt und x die Koordinaten von p bezüglich P sind.
c.) Ist [mm] \mu [/mm] eine Affinität
d.) ISt [mm] \mu [/mm] eine Bewegung im [mm] (\IR^{2} [/mm] , <. , .>)? |
Ok dies ist mein erstes Auftreten in einem Online-Forum, deswegen bitte ich gemachte Fehler bzw. Verbesserungsvorschläge mir mitzuteilen und mir nicht übel zu nehmen.
Aufgabenteil a.) wird von mir gezeigt, in dem ich [mm] p_{1}-p_{0} [/mm] und [mm] p_{2}-p_{0} [/mm] rechne... diese beiden neuen Vektoren sind linear unabhängig und das Skalarprodukt von ihnen ist ungleich 0. Somit stellt P ein Koordinatensystem im [mm] \IR^{2} [/mm] dar. (richtig?)
Nun zu Aufgabenteil b.)
Nach meinem Wissen stellt man eine affine Abbildung wie folgt auf:
[mm] \mu [/mm] (x) = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * x + [mm] \vektor{e \\ f}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} \Rightarrow [/mm] b=-1 und d=1
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] mit b=-1 und d=1 folgt:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ a & -1 \\ c & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2} \Rightarrow [/mm] a=2 und c=-2
[mm] \vektor{-3 \\ 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 2} \Rightarrow [/mm] e=-2 und f=4
Also lautet meine gefundene affine Abbildung:
[mm] \mu [/mm] (x) = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -2 & 1 } [/mm] * x + [mm] \vektor{-2 \\ 4}
[/mm]
Stimmt das?
Zu c.) Ja es ist eine Affinität, kann es aber nicht begründen.
Zu d.) Nein es ist keine Bewegung da die Bildpunkte auf einer Geraden liegen und die "Ursprungspunkte nicht", somit kann es keine Bewegung sein.
Danke schon mal im Vorraus... Wird mir hoffentlich für meine Klausurvorbereitungen weiterhelfen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Es seien die Punkte [mm]p_{0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] , [mm]p_{1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] , [mm]p_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 2}[/mm] im [mm]\IR^{2}[/mm]
> bezüglich der kanonischen Einheitsbasis [mm]E=(e_{1}[/mm] , [mm]e_{2})[/mm]
> gegeben.
> a.) Zeigen Sie, dass P = [mm](p_{0}[/mm] , [mm]p_{1}[/mm] , [mm]p_{2})[/mm] ein
> Koordinatensystem für [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
> b.) Stellen Sie eine affine Abbildung [mm]\mu[/mm] (p) = b + Ax
> auf, für die [mm]\mu (p_{0})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] , [mm]\mu (p_{1})[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\mu (p_{2})[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm] gilt und
> x die Koordinaten von p bezüglich P sind.
> c.) Ist [mm]\mu[/mm] eine Affinität
> d.) ISt [mm]\mu[/mm] eine Bewegung im [mm](\IR^{2}[/mm] , <. , .>)?
> Ok dies ist mein erstes Auftreten in einem Online-Forum,
> deswegen bitte ich gemachte Fehler bzw.
> Verbesserungsvorschläge mir mitzuteilen und mir nicht übel
> zu nehmen.
>
> Aufgabenteil a.) wird von mir gezeigt, in dem ich
> [mm]p_{1}-p_{0}[/mm] und [mm]p_{2}-p_{0}[/mm] rechne... diese beiden neuen
> Vektoren sind linear unabhängig und das Skalarprodukt von
> ihnen ist ungleich 0. Somit stellt P ein Koordinatensystem
> im [mm]\IR^{2}[/mm] dar. (richtig?)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] p_1-p_0 [/mm] und [mm] p_2-p_0 [/mm] zeigst, ist richtig.
Aber wofür das Skalarprodukt? Und warum meinst Du, daß das nicht =0 sein darf? Sind rechtwinklige Koordinatensysteme verboten? Nein. Sind sie nicht.
Das Skalarprodukt ist übrigens hier =0.
>
> Nun zu Aufgabenteil b.)
> Nach meinem Wissen stellt man eine affine Abbildung wie
> folgt auf:
> [mm]\mu[/mm] (x) = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * x + [mm]\vektor{e \\ f}[/mm] (*)
Ja. Affine Abbildungen "bestehen" aus einer linearen Abbildung und einer Translation.
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1} \Rightarrow[/mm]
> b=-1 und d=1
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> mit b=-1 und d=1 folgt:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ a & -1 \\ c & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2} \Rightarrow[/mm]
> a=2 und c=-2
> [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -2 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\ 2} \Rightarrow[/mm]
> e=-2 und f=4
> Also lautet meine gefundene affine Abbildung:
> [mm]\mu[/mm] (x) = [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ -2 & 1 }[/mm] * x + [mm]\vektor{-2 \\ 4}[/mm]
>
> Stimmt das?
Im Prinzip kannst Du das selbst prüfen, indem Du die [mm] p_i [/mm] einsetzt und guckst, ob die geforderten Funktionswerte herauskommen. Kommen sie?
Dein Tun ist mir undurchsichtig. Wo bleibt denn der Vektor [mm] \vektor{e \\ f} [/mm] in Deinen Berechnungen?
Eine andere Sache: in der Aufgabe steht
> [mm]\mu[/mm] (p) = b + Ax [...] und x die Koordinaten von p bezüglich P sind.
Über diese Koordinaten mußt Du Dir ein wenig Gedanken machen!
Du suchst also A und b mit
[mm]\mu (p_{0})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm][mm] =b+A*\vektor{0\\0 }
[/mm]
[mm]\mu (p_{1})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm][mm] =b+A*\vektor{1 \\ 0 }
[/mm]
[mm]\mu (p_{2})[/mm] = [mm]\vektor{-3\\2}[/mm][mm] =b+A*\vektor{0\\1 }
[/mm]
> Zu c.) Ja es ist eine Affinität, kann es aber nicht
> begründen.
Was ist denn eine Affinität?
> Zu d.) Nein es ist keine Bewegung da die Bildpunkte auf
> einer Geraden liegen und die "Ursprungspunkte nicht", somit
> kann es keine Bewegung sein.
Das stimmt zwar, aber ich würde dichter an die Definition der Bewegung gehen und ganz konkret einen Abstand vorweisen, der nicht erhalten bleibt unter der Abbildung.
Gruß v. Angela
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> Danke schon mal im Vorraus... Wird mir hoffentlich für
> meine Klausurvorbereitungen weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Do 25.09.2008 | | Autor: | Chryssy |
Erstmals vielen Dank für deine Hilfe.
Ok ich such also b und A bei meiner Aufgabe. Gehe ich richtig davon aus das b ein Vektor und A eine 2x2-Matrix darstellt?
Ich bin einfach mal davon ausgegangen und habe folgendes probiert:
[mm] \mu (p_{i}) [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \pmat{ c & d \\ e & f } [/mm] * x
[mm] \mu (p_{0}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \pmat{ c & d \\ e & f } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] Was dazu führt dass der rechte Summand (egal was A ist) = 0 wird also kann ich a und b ermitteln. Sprich a=-1 und b=1
[mm] \Rightarrow \mu (p_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] + [mm] \pmat{ c & d \\ e & f } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] Jetzt kann ich c und e ermitteln [mm] \Rightarrow [/mm] c=2 und e=-1
mit dem letzten Term (indem ich c und e eingesetzt hab) lässt sich d und f bestimmen:
[mm] \mu (p_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] + [mm] \pmat{ 2 & d \\ -1 & f } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} \Rightarrow [/mm] d=-2 und f=1
Damit hab ich eine affine Abbildung gefunden die wie folgt heißt:
[mm] \mu (p_{i}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] + [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ -1 & 1 } [/mm] * x
Aber setz ich nun [mm] p_{i} [/mm] ein und rechne als Probe nach kommt nicht [mm] \mu (p_{i}) [/mm] raus. :( Wo ist da der Fehler was mach ich falsch?
Zu deiner Frage was eine Affinität ist:
Eine Affinität ist eine Ähnlichkeitsabbildung, d.h. Punkte werden auf Punkte, Geraden auf Geraden abgebbildet. Jedoch ist eine Affinität weder längen- noch winkeltreu. [mm] \Rightarrow [/mm] diese Abbildung ist eine Affinität.
Mit freundlichen Grüßen
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> Erstmals vielen Dank für deine Hilfe.
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> Ok ich such also b und A bei meiner Aufgabe. Gehe ich
> richtig davon aus das b ein Vektor und A eine 2x2-Matrix
> darstellt?
> Ich bin einfach mal davon ausgegangen und habe folgendes
> probiert:
>
> [mm]\mu (p_{i})[/mm] = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\pmat{ c & d \\ e & f }[/mm] *
> x
>
> [mm]\mu (p_{0})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\pmat{ c & d \\ e & f }[/mm]
> * [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] Was dazu führt dass der rechte Summand
> (egal was A ist) = 0 wird also kann ich a und b ermitteln.
> Sprich a=-1 und b=1
>
> [mm]\Rightarrow \mu (p_{1})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> + [mm]\pmat{ c & d \\ e & f }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] Jetzt kann ich
> c und e ermitteln [mm]\Rightarrow[/mm] c=2 und e=-1
> mit dem letzten Term (indem ich c und e eingesetzt hab)
> lässt sich d und f bestimmen:
> [mm]\mu (p_{2})[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] + [mm]\pmat{ 2 & d \\ -1 & f }[/mm]
> * [mm]\vektor{0 \\ 1} \Rightarrow[/mm] d=-2 und f=1
> Damit hab ich eine affine Abbildung gefunden die wie folgt
> heißt:
>
> [mm]\mu (p_{i})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] + [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ -1 & 1 }[/mm]
> * x
>
> Aber setz ich nun [mm]p_{i}[/mm] ein und rechne als Probe nach kommt
> nicht [mm]\mu (p_{i})[/mm] raus. :( Wo ist da der Fehler was mach
> ich falsch?
Hallo,
das deutet daraufhin, daß Du die Sache mit den Koordinaten nicht verstanden hast - also auch nicht, warum Du das zuvor so gemacht hast, wie Du's jetzt gemacht hast.
Das x soll doch der Koordinatenvektor von p bzgl. der Basis P sein.
Was ist denn der Koordinatenvektor von [mm] p_1 [/mm] bzgl. der Basis P?
>
> Zu deiner Frage was eine Affinität ist:
> Eine Affinität ist eine Ähnlichkeitsabbildung, d.h. Punkte
> werden auf Punkte, Geraden auf Geraden abgebbildet. Jedoch
> ist eine Affinität weder längen- noch winkeltreu.
> [mm]\Rightarrow[/mm] diese Abbildung ist eine Affinität.
Habt Ihr Affinität so definiert? Du mußt wirklich die Definitionen draufhaben oder nachschlagen.
Man muß genau lesen: eine Affinität ist nämlich etwas anderes als eine affine Abbildung, ein Spezialfall. Nämlich?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 25.09.2008 | | Autor: | Chryssy |
Ok Koordinatenvektoren:
Ich hab ja die Punkte [mm] p_{0}, p_{1} [/mm] und [mm] p_{2} [/mm] gegeben. [mm] p_{0}-p_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] p_{0}-p_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] Diese beiden Vektoren ergeben eine Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] da diese ja offensichtlich linear unabhängig sind.
Der Koordinatenvektor von [mm] p_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] bezüglich P ist dann [mm] x_{1}\vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] x_{2}\vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] p_{1} [/mm] ;
Sprich [mm] \vektor{1,5 \\ 0,5}
[/mm]
Stimmt das? Wenn ja, was nun?
Vielen Dank und freundliche Grüße
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> Ok Koordinatenvektoren:
> Ich hab ja die Punkte [mm]p_{0}, p_{1}[/mm] und [mm]p_{2}[/mm] gegeben.
> [mm]p_{0}-p_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]p_{0}-p_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> Diese beiden Vektoren ergeben eine Basis des [mm]\IR^{2}[/mm] da
> diese ja offensichtlich linear unabhängig sind.
Ja.
Und deshalb ist [mm] (p_0, p_1, p_2) [/mm] ein Koordinatensystem Deines affinen Raumes.
>
> Der Koordinatenvektor von [mm]p_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] bezüglich
> P ist dann [mm]x_{1}\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]x_{2}\vektor{-1 \\ 1}[/mm] =
> [mm]p_{1}[/mm] ;
> Sprich [mm]\vektor{1,5 \\ 0,5}[/mm]von
> Stimmt das?
Nein.
Was steht denn in Deinem Skript/Mitschrift/Buch zum Thema Koordinatenvektoren?
Bedenke, daß [mm] p_0 [/mm] der Ursprung Deines Koordinatensystems ist. Du kannst Dir doch auch mal eine zeichung machen, um zu verstehen, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 25.09.2008 | | Autor: | Chryssy |
Ok jetz glaub ich ist der Groschen gefallen (hoffentlich)
Ok, jeder Vektor v = [mm] \vektor{v_1 \\ : \\ v_n} [/mm] kann dargestellt werden als: [mm] v_1*e_1 [/mm] + ... + [mm] v_n*e_n [/mm] wobei [mm] e_1 [/mm] ... [mm] e_n [/mm] die Stnadartvektoren sein sollen. Jetzt kann ich aber auch den selben Vektor bezüglich einer anderen Basis darstellen.
Unsere Basis lautet [mm] \{ \vektor{1 \\ 1} , \vektor{-1 \\ 1} \} [/mm]
Der Koordinatenvektor von [mm] p_1=\vektor{1 \\ 2} [/mm] bezüglich P ist dann [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] der Koordinatenvektor von [mm] p_2=\vektor{-1 \\ 2} [/mm] ist dann [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und der Koordinatenvektor von [mm] p_0 [/mm] (was unser neuer Ursprung ist) lautet [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Ist der Groschen richtig gefallen?
Mit freundlichen Grüßen
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> Ok jetz glaub ich ist der Groschen gefallen (hoffentlich)
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> Ok, jeder Vektor v = [mm]\vektor{v_1 \\ : \\ v_n}[/mm] kann
> dargestellt werden als: [mm]v_1*e_1[/mm] + ... + [mm]v_n*e_n[/mm] wobei [mm]e_1[/mm]
> ... [mm]e_n[/mm] die Stnadartvektoren sein sollen. Jetzt kann ich
> aber auch den selben Vektor bezüglich einer anderen Basis
> darstellen.
> Unsere Basis lautet [mm]\{ \vektor{1 \\ 1} , \vektor{-1 \\ 1} \}[/mm]
> Der Koordinatenvektor von [mm]p_1=\vektor{1 \\ 2}[/mm] bezüglich P
> ist dann [mm]\vektor{1 \\ 0},[/mm] der Koordinatenvektor von
> [mm]p_2=\vektor{-1 \\ 2}[/mm] ist dann [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] und der
> Koordinatenvektor von [mm]p_0[/mm] (was unser neuer Ursprung ist)
> lautet [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> Ist der Groschen richtig gefallen?
Hallo,
ja, jetzt scheinst Du es verstanden zu haben.
Damit ich nicht durcheinanderkomme, mache ich mir oft einen Index an die Vektoren, damit ich weiß, bzgl. welchen Koordinatensystems sie sind. das kann nämlich sonst ganz schon verwirrend sein, Du kennst es ja sicher von Basistransformationen in Vektorräumen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Chryssy |
Ok ich sag mal vielen Dank für all deine Hilfe.
Stellen Sie eine affine Abbildung [mm] \mu [/mm] (p) = b + Ax
Die x sind ja nun die Koordinatenvektoren, b ist ein Vektor und V eine 2x2-Matrix, richtig?
Jetzt eine Frage: Wie komme ich nun zu der gesuchten Abbildung?
Muss ich für b und A jeweils Variablen einsetzten a,...,f und nach diese Auflösen oder was muss machen? (Bitte entschuldige mein fehlendes Wissen)
[mm] \mu (p_{0}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} =b+A\cdot{}\vektor{0\\0 } [/mm]
[mm] \mu (p_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} =b+A\cdot{}\vektor{1 \\ 0 } [/mm]
[mm] \mu (p_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{-3\\2} =b+A\cdot{}\vektor{0\\1 } [/mm]
Mit freundlichen Grüßen
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> Ok ich sag mal vielen Dank für all deine Hilfe.
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> Stellen Sie eine affine Abbildung [mm]\mu[/mm] (p) = b + Ax
> Die x sind ja nun die Koordinatenvektoren, b ist ein
> Vektor und V eine 2x2-Matrix, richtig?
Hallo,
ja, so ist das.
> Jetzt eine Frage: Wie komme ich nun zu der gesuchten
> Abbildung?
> Muss ich für b und A jeweils Variablen einsetzten a,...,f
> und nach diese Auflösen oder was muss machen?
Im Prinzip kannst Du das so machen - mach es mal so.
Den Vektor b bekommst Du aus der 1. Gleichung ja sofort, völlig ohne Mühe. Denn eine Matrix mit dem Nullvektor multipliziert ergibt???
der Rest its dann schnell gerechnet.
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> [mm]\mu (p_{0})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1} =b+A\cdot{}\vektor{0\\0 }[/mm]
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> [mm]\mu (p_{1})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0} =b+A\cdot{}\vektor{1 \\ 0 }[/mm]
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> [mm]\mu (p_{2})[/mm] = [mm]\vektor{-3\\2} =b+A\cdot{}\vektor{0\\1 }[/mm]
> (Bitte
> entschuldige mein fehlendes Wissen)
Ach, entschuldigen mußt Du Dich dafür nicht, schon gar nicht bei mir. Aber Du solltest zusehen, daß Du Deine Lücken gefüllt bekommst.
Es wäre sicher ganz gut, wenn Du die darstellenden Matrizen von linearen Abbildungen mal nacharbeiten würdest, auch Basistransformation bei linearen Abbildungen, falls das dran war.
Gruß v. Angela
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