Äquivalenzumformung ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gleichung lösen: ln(x)*ln(x) = ln(x) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösungen lauten x=e und x=1.
Wenn ich jedoch die folgende Äquivalenzumformung durchführe, dann komme ich nur auf eine Lösung. Woran liegt es?
ln(x)*ln(x) = ln(x) | e
x*x = x | : x
x = 1
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Daran, dass du keine Äquivalenzumformung vornimmst bzw. korrekt gesagt falsch vornimmst, denn du machst den Fehler, der von 90% der Schüler gemacht wird, wenn eine Seite einer Gleichung aus mehr als einem Term besteht: Ihr wendet immer die Umformung auf jeden Einzelterm an. Das ist FALSCH! Die Umformung (bei dir e als Basis) ist eine Operation, die für die linke und rechte Seite gelten muss, also stünde nach der Umformung da:
[mm] $e^{ln(x)*ln(x)}=e^{ln(x)}$
[/mm]
und das ist mitnichten [mm] x^2 [/mm] ;)
du musst in diesem Fall einfach "nachdenken". Du kannst auch so weiter umformen und erhälst dann eben noch:
[mm] $x^{ln(x)}=x$
[/mm]
an dieser Gleichung kannst du die geforderten Lösungen ebenso wie ander Ausgangsgleichung durch Überlegen gewinnen.
EDIT: Besser geht es natürlich mit FREDs Lösung...peinlich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 30.12.2012 | | Autor: | fred97 |
ln(x)*ln(x)=ln(x) [mm] \gdw [/mm] ln(x)(ln(x)-1)=0 [mm] \gdw [/mm] ln(x)=0 oder ln(x)=1.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 30.12.2012 | | Autor: | Adamantin |
Danke für den Augenöffner und das Entfernen der Tomaten...Immerhin stimmte mein Hinweis, wenn man den ln auflösen möchte ;)
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