Äquivalenzrelation auf R³ < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 06.12.2010 | | Autor: | skoopa |
| Aufgabe | Durch x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x-y [mm] \in \IQ^{n} [/mm] ist eine Äquivalenzrelation im [mm] \IR^{n} [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass der Einheitswürfel [mm] [0,1]^{n}\subset\IR^{n} [/mm] aus jeder Äquivalenzklasse von [mm] \sim [/mm] abzählbar unendlich viele Elemente enthält. |
HeyHo da draußen!
Ich hab ein Problem mit obiger Aufgabe.
Und zwar ist mir klar, wie die Ä-Relation aussieht und, dass es eine ist hab ich schon nachgerechnet. Mir ist auch die Aussage klar. Allerdings hatte ich Probleme das ganze aufzuschreiben. Dann hab ich eine Lösung gesehen und in dieser steht Folgendes:
"Durch [x] = [mm] x+\IQ^{n} [/mm] ist die Äquivalenzklasse für ein [mm] x\in\IR^{n} [/mm] gegeben."
Aber ich verstehs irgendwie nicht.
Die ÄKlasse von [mm] x\in\IR^{n} [/mm] wäre doch durch [x] = { [mm] y\in\IR^{n}| x-y\in\IQ^{n} [/mm] } gegeben.
Und irgendwie wird später im Beweis ständig verwendet, dass die ÄKlasse von x nur aus x und [mm] y\in\IQ^{n} [/mm] besteht.
Oder ist die Aussage in der Lösung vllt so gemeint, dass [mm] x+y\in [/mm] [x] [mm] \forall y\in\IQ^{n} [/mm] gilt?
Aber auch dann wäre mir diese Aussage nicht wirklich klar. Es ist doch auch möglich, dass irrationale Zahlen ungleich x in der ÄKlasse von x sind, oder? oder sind in [mm] x+\IQ^{n} [/mm] die irrationalen Zahlen, die nicht in dieser ÄKlasse sind ausgeschlossen?
So viele Fragen...
Ich hoffe jemand kann damit was anfangen und mir weiterhelfen.
Danke schonmal im Voraus!
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaube du übersiehst dass kein x,y, das nicht in [mm] \IQ^n [/mm] liegt den Bedingungen genügen kann.
die Differenz oder Summe zweier Zahlen die nichtin Q liegen liegt auch nicht in Q es sei denn sie sind gleich, also die differenz ist 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mo 06.12.2010 | | Autor: | skoopa |
> Hallo
> ich glaube du übersiehst dass kein x,y, das nicht in
> [mm]\IQ^n[/mm] liegt den Bedingungen genügen kann.
> die Differenz oder Summe zweier Zahlen die nichtin Q liegen
> liegt auch nicht in Q es sei denn sie sind gleich, also die
> differenz ist 0
> Gruss leduart
>
HeyHey!
Aber das würde ja dann heißen, dass die Menge der irrationalen Zahlen bzgl. der Addition (von ungleichen Elementen) abgeschlossen ist. Und das ist doch nicht der Fall, oder?
Ich dachte nämlich, dass das nicht so ist, falls doch dann wär mir einiges klarer.
Ich mach mal ein Beispiel, was mir als Gegenbeispiel grad immer im Kopf herumschwirrt.
Und zwar wenn x=0,909009000900009000009... also immer eine Null mehr zwischen den Neunen ist, dann ist x weder endlich, noch periodisch. (also irrational?)
Und wenn man y=0,090990999099990999990... wählt, also quasi bei x alle 9en und 0en vertauscht, dann hat y die gleichen Eigenschaften wie x.
Und es gilt [mm] x+y=0,\overline{9}=\bruch{3}{3}=1\in\IQ.
[/mm]
Oder wo ist mein Fehler? Vermutlich sind x und y nicht irrational, oder?
Danke für die Hilfe!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht mit deinem GegenBeispiel und der Addition. bei subtraktion ist es aber etwas anderes.
so dass weiterhin y aus q stammen muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Di 07.12.2010 | | Autor: | skoopa |
Tach leduart!
Danke für die Antwort!
Also das Problem ist, ich seh das eigentlich auch so wie du.
Aber kann ich nicht für die Subtraktion ein relativ ähnliches Gegenbeispiel konstruieren indem x=0,9090090009..., wie vorhin, gegeben ist und y=0,4090090009... gewählt wird.
Dann wäre nämlich [mm] x\not=y [/mm] und [mm] x-y=\bruch{1}{2}\in\IQ.
[/mm]
Oder hab ich hier nen Denkfehler drin?
Viele Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Di 07.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
Hier ist glaubich Verwirrung eingetreten. Natürlich können Summe und Differenz von 2 reellen Zahlen, die nicht in [mm] \IQ [/mm] liegen, rational sein. Nimm einfach 1 + [mm] \pi [/mm] und 1 - [mm] \pi [/mm] für die Summe bzw. [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] - 1 für die Differenz.
Vielleicht machst du dir die Lage erstmal für n = 1 klar. Wie sehen dann die Vertreter einer Restklasse in [0, 1] aus?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 07.12.2010 | | Autor: | skoopa |
> Hallo!
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> Hier ist glaubich Verwirrung eingetreten. Natürlich
> können Summe und Differenz von 2 reellen Zahlen, die nicht
> in [mm]\IQ[/mm] liegen, rational sein. Nimm einfach 1 + [mm]\pi[/mm] und 1 -
> [mm]\pi[/mm] für die Summe bzw. [mm]\pi[/mm] und [mm]\pi[/mm] - 1 für die Differenz.
>
> Vielleicht machst du dir die Lage erstmal für n = 1 klar.
> Wie sehen dann die Vertreter einer Restklasse in [0, 1]
> aus?
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
MoinMoin:)
Danke! Deine Beispiele sind natürlich einiges eleganter. Ich speicher sie mal in meinem Kopf.
Und dann hab ich noch mehr gute Nachrichten. Ich glaub nämlich ich weiß jetzt warum für [mm] x\in\IQ [x]=x+\IQ [/mm] ist.
Und zwar muss man die Gleichheit zweier Mengen zeigen. Los gehts:
Zuerst [mm] \subset [/mm] :
Sei [mm] y\in\IR, y\in [/mm] [x]. Dann ist y [mm] \sim [/mm] x, also [mm] y-x\in\IQ. [/mm] Dann ist [mm] y=x+(y-x)\in x+\IQ. [/mm] Das gilt also für beliebiges [mm] y\in [/mm] [x].
Dann also noch [mm] \supset [/mm] :
Sei [mm] y\in x+\IQ. [/mm] Dann [mm] \exists z\in\IQ [/mm] : y=x+z [mm] \Rightarrow z=y-x\in\IQ \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x [mm] \Rightarrow y\in [/mm] [x].
Also ist [mm] [x]=x+\IQ.
[/mm]
Stimmt das alles?
Weil dann wäre mir nun einiges mehr klar.
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh keinen Fehler in deiner Argumentation
Gruss leduart
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