Äquivalenzrelation (Beweis) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Behauptung: Es sei A eine nicht leere Menge und
[mm] A=\cup_i\inI A_i, A_i \not= \emptyset, A_i \cupA_k= \emptyset, i\not=k
[/mm]
eine Darstellung von A als disjunkte Vereinigung nicht leerer Mengen. Dabei ist I eine Indexmenge. Dann ist durch
[mm] (a,b)\in R\subset A\timesA \gdw [/mm] Es gibt ein [mm] k\inI [/mm] mit [mm] a\in A_k [/mm] und [mm] b\in A_k
[/mm]
eine Äquivalenzrelation R auf A definiert. |
Ich habe riesige Probleme mit der Aufgabenstellung bzw. mit der Schreibweise. Ich verstehe nicht so ganz was ich da beweisen soll.
Anmerkung: [mm] i\in [/mm] I
Danke schon mal!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie folgende Behauptung: Es sei A eine nicht leere
> Menge und
> [mm]A=\cup_i\inI A_i, A_i \not= \emptyset, A_i \cupA_k= \emptyset, i\not=k[/mm]
Hier steht wohl [mm] A_i \cap A_k= \emptyset, [/mm] i [mm] \not=k
[/mm]
>
> eine Darstellung von A als disjunkte Vereinigung nicht
> leerer Mengen. Dabei ist I eine Indexmenge. Dann ist durch
> [mm](a,b)\in R\subset A\timesA \gdw[/mm] Es gibt ein [mm]k\inI[/mm] mit [mm]a\in A_k[/mm]
> und [mm]b\in A_k[/mm]
> eine Äquivalenzrelation R auf A definiert.
> Ich habe riesige Probleme mit der Aufgabenstellung bzw.
> mit der Schreibweise.
Dann sag doch genau , was Dir Schwierigkeiten macht !
> Ich verstehe nicht so ganz was ich da
> beweisen soll.
Auf A hast Du eine Relation definiert, die ich mal mit [mm] \sim [/mm] bezeichne:
a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] es gibt ein $ [mm] k\in [/mm] I $ mit $ a [mm] \in A_k [/mm] $ und $ b [mm] \in A_k [/mm] $
Zeigen sollst Du, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf A ist, also:
1. a [mm] \sim [/mm] a für jedes a in A. (Reflexivität)
2. aus a [mm] \sim [/mm] b folgt b [mm] \sim [/mm] a (Symmetrie)
3. aus a [mm] \sim [/mm] b und b [mm] \sim [/mm] c folgt a [mm] \sim [/mm] c (Transitivität)
FRED
> Anmerkung: [mm]i\in[/mm] I
>
> Danke schon mal!
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Behauptung: Es sei A eine nicht leere Menge und
[mm]A=\cup_{i \in I} A_i, A_i \not= \emptyset, A_i \cap A_k = \emptyset, i\not=k[/mm]
eine Darstellung von A als disjunkte Vereinigung nicht leerer Mengen. Dabei ist I eine Indexmenge. Dann ist durch
[mm](a,b)\in R\subset A\timesA \gdw[/mm] Es gibt ein [mm]k \in I[/mm] mit [mm]a\in A_k[/mm] und [mm]b\in A_k[/mm]
eine Äquivalenzrelation R auf A definiert. |
> Auf A hast Du eine Relation definiert, die ich mal mit [mm]\sim[/mm]
> bezeichne:
>
> a [mm]\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] es gibt ein [mm]k\in I[/mm] mit [mm]a \in A_k[/mm] und [mm]b \in A_k[/mm]
>
>
> Zeigen sollst Du, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf A
> ist, also:
>
> 1. a [mm]\sim[/mm] a für jedes a in A. (Reflexivität)
>
> 2. aus a [mm]\sim[/mm] b folgt b [mm]\sim[/mm] a (Symmetrie)
>
> 3. aus a [mm]\sim[/mm] b und b [mm]\sim[/mm] c folgt a [mm]\sim[/mm] c
> (Transitivität)
>
> FRED
Hallo,
ich hab die Aufgabenstellung mal korrigiert und hoffentlich nichts übersehen. So steht es bei uns auf dem Zettel. Ich komme damit auch nicht klar. Die Aufgabe hab ich verstanden, allerdings versteh ich nicht, was oder wie ich es richtig aufschreibe - nicht das mathematische formulieren, sondern eher, was zu zeigen ist. Theoretisch ist es klar, du hast es ja schon aufgeschrieben. Praktisch bekomm ich es trotzdem nicht hin : (
Ich versuch mal zu formulieren, was ich für eine Lösungsidee halte.
1. reflexiv:
a~a, da [mm]a \in A_k[/mm] und [mm] a \in A_k [/mm]
In Worten: Es ist doch eigentlich nur klar, dass a da liegt, wo a liegt.
2. symmetrisch:
a~b => b~a, da [mm]a \in A_k \wedge b \in A_k \Rightarrow b \in A_k \wedge a \in A_k[/mm]
Also, da a in [mm] A_k [/mm] liegt und auch b in [mm] A_k [/mm] liegt, muss das ja auch andersrum funktionieren.
3. transitiv:
a~b [mm] \wedge [/mm] b~c => a~c
Ehm, klingt für mich wie bei 2.: Wenn a in [mm] A_k [/mm] und b in [mm] A_k [/mm] und c in [mm] A_k, [/mm] dann muss auch (a,c) in [mm] A_k [/mm] sein.
Hoffentlich ist das nicht der totale Quatsch, aber ich durchblicke das wirklich nicht. Manchmal hab ich das Gefühl uns wird erklärt "Das ist so, weil ist so" und wenn wir das dann so aufschreiben, ist es zu kurz *seufz*
Schönen Abend noch
Fin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie folgende Behauptung: Es sei A eine nicht leere
> Menge und
> [mm]A=\cup_{i \in I} A_i, A_i \not= \emptyset, A_i \cap A_k = \emptyset, i\not=k[/mm]
>
> eine Darstellung von A als disjunkte Vereinigung nicht
> leerer Mengen. Dabei ist I eine Indexmenge. Dann ist durch
> [mm](a,b)\in R\subset A\timesA \gdw[/mm] Es gibt ein [mm]k \in I[/mm] mit
> [mm]a\in A_k[/mm] und [mm]b\in A_k[/mm]
> eine Äquivalenzrelation R auf A
> definiert.
> > Auf A hast Du eine Relation definiert, die ich mal mit
> [mm]\sim[/mm]
> > bezeichne:
> >
> > a [mm]\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] es gibt ein [mm]k\in I[/mm] mit [mm]a \in A_k[/mm] und [mm]b \in A_k[/mm]
>
> >
> >
> > Zeigen sollst Du, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf A
> > ist, also:
> >
> > 1. a [mm]\sim[/mm] a für jedes a in A. (Reflexivität)
> >
> > 2. aus a [mm]\sim[/mm] b folgt b [mm]\sim[/mm] a (Symmetrie)
> >
> > 3. aus a [mm]\sim[/mm] b und b [mm]\sim[/mm] c folgt a [mm]\sim[/mm] c
> > (Transitivität)
> >
> > FRED
>
> Hallo,
>
> ich hab die Aufgabenstellung mal korrigiert und hoffentlich
> nichts übersehen. So steht es bei uns auf dem Zettel. Ich
> komme damit auch nicht klar. Die Aufgabe hab ich
> verstanden, allerdings versteh ich nicht, was oder wie ich
> es richtig aufschreibe - nicht das mathematische
> formulieren, sondern eher, was zu zeigen ist. Theoretisch
> ist es klar, du hast es ja schon aufgeschrieben. Praktisch
> bekomm ich es trotzdem nicht hin : (
>
> Ich versuch mal zu formulieren, was ich für eine
> Lösungsidee halte.
> 1. reflexiv:
> a~a, da [mm]a \in A_k[/mm] und [mm]a \in A_k[/mm]
> In Worten: Es ist doch
> eigentlich nur klar, dass a da liegt, wo a liegt.
naja, sagen wir es so: das hier ist wirklich trivial, es gibt allerdings EINE
KLEINIGKEIT zu beachten:
Zu zeigen ist, dass $a [mm] \sim [/mm] a$ FÜR ALLE $a [mm] \in A\,.$
[/mm]
Sei also $a [mm] \in [/mm] A$ IRGENDEIN Element. Weil [mm] $A=\bigcup_{i \in I}^d A_i$ [/mm]
(das [mm] $d\,$ [/mm] soll das "disjunkt" andeuten) gibt es, für dieses $a [mm] \in A\,,$ [/mm]
(sogar genau!) ein $i=i(a) [mm] \in [/mm] I$ so, dass $a [mm] \in A_{i}\,.$ [/mm] Dann gilt $a [mm] \in A_i$ [/mm] und $a [mm] \in A_i\,,$ [/mm]
und es folgt sodann $a [mm] \sim [/mm] a$ nach Definition von [mm] $\sim\,.$ [/mm] Da $a [mm] \in [/mm] A$
beliebig war, gilt $a [mm] \sim [/mm] a$ für alle $a [mm] \in A\,.$
[/mm]
> 2. symmetrisch:
> a~b => b~a, da [mm]a \in A_k \wedge b \in A_k \Rightarrow b \in A_k \wedge a \in A_k[/mm]
>
> Also, da a in [mm]A_k[/mm] liegt und auch b in [mm]A_k[/mm] liegt, muss das ja auch andersrum funktionieren.
Das ist okay, mach' Dir aber den Unterschied zu 1.) klar: Es seien $a,b [mm] \in [/mm] A$
so, dass $a [mm] \sim b\,.$ [/mm] (Hier kann es ja sein, dass es keine solchen $a,b [mm] \in [/mm] A$ überhaupt gibt!)
Wegen $a [mm] \sim [/mm] b$ existiert dann (eigentlich zu dem Paar $(a,b) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] A$
- man kann also auch schreiben [mm] $k=k(a,b)\,$! [/mm] - beachte auch $(a,b) [mm] \not=(b,a)\,$!) [/mm]
ein $k [mm] \in [/mm] I$ so, dass $a [mm] \in A_k$ [/mm] und $b [mm] \in A_k\,.$ [/mm] Dann gilt auch $b [mm] \in A_k$ [/mm]
und $a [mm] \in A_k\,$ [/mm] (d.h. zu dem Paar $(b,a) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] A$ kann man
$k':=k'(b,a):=k=k(a,b)$ setzen!) und nach Definition von [mm] $\sim$ [/mm] folgt damit $b [mm] \sim a\,.$
[/mm]
> 3. transitiv:
> a~b [mm]\wedge[/mm] b~c => a~c
> Ehm, klingt für mich wie bei 2.: Wenn a in [mm]A_k[/mm] und b in
> [mm]A_k[/mm] und c in [mm]A_k,[/mm] dann muss auch
> (a,c)
Du meinst sicher
> [mm] $\red{c}\;$ [/mm] in [mm]A_k[/mm] sein.
Jein. Hier ist es minimal anders, bzw. Deine Folgerung muss genauer
begründet werden (wäre [mm] $A\,$ [/mm] nämlich nicht disjunkte Vereinigung der
[mm] $A_i\,$...):
[/mm]
Wenn man $a [mm] \sim [/mm] b$ und $b [mm] \sim [/mm] c$ hat, dann gelten:
1.) Wegen $a [mm] \sim [/mm] b$ gibt es ein [mm] $k_1 \in [/mm] I$ mit $a,b [mm] \in A_{k_1}\,.$
[/mm]
2.) Wegen $b [mm] \sim [/mm] c$ gibt es ein [mm] $k_2 \in [/mm] I$ mit $b,c [mm] \in A_{k_2}\,.$
[/mm]
Wenn man jetzt wüßte, dass [mm] $k_1=k_2$ [/mm] gelten würde, was Du oben
einfach mal angenommen hast, dann wäre man fertig. Das gilt auch,
aber es eigentlich der einzige, etwas "schwerere Teil" der Aufgabe, diese
Gleichheit zu begründen. Wenn Dir der Grund nicht klar ist: Wir haben
bislang eine Voraussetzung noch nirgends (wirklich) verwendet (ich habe
zwar oben "genau ein" geschrieben, aber "ein" im Sinne von "mindestens
ein" hätte hier an allen Argumenten nix geändert!), vielleicht merkst Du's
alleine, wenn ich nur etwas andeute:
[mm] $$...=\bigcup_{i \in I}^{\red{d}}...$$
[/mm]
> Hoffentlich ist das nicht der totale Quatsch, aber ich
> durchblicke das wirklich nicht. Manchmal hab ich das
> Gefühl uns wird erklärt "Das ist so, weil ist so" und
> wenn wir das dann so aufschreiben, ist es zu kurz *seufz*
Einfache Aufgaben sind manchmal so einfach, dass man an der Einfachheit
der Lösung zweifelt. Aber denke mal bei der Transitivität wirklich drüber
nach, was Dir da für ein Fehler passiert ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Fincayra |
Cool, danke. Ich glaube so langsam dämmert es. Hell ist es zwar noch nicht, aber was nicht ist, kann ja noch werden : )
Warum [mm] A_{k_1} [/mm] = [mm] A_{k_2} [/mm] ist, ist klar. Sonst hätten die beiden ja eine Schnittmenge, was nach Vorraussetzung nicht sein soll.
Wow... ich hab echt erwartet, das ich Blödsinn geschrieben hab. Das baut mich heut Abend auf : )
Vielen Dank und noch ein schönen Abend : )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Di 13.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Cool, danke. Ich glaube so langsam dämmert es. Hell ist es
> zwar noch nicht, aber was nicht ist, kann ja noch werden :
> )
>
> Warum [mm]A_{k_1}[/mm] = [mm]A_{k_2}[/mm] ist, ist klar. Sonst hätten die
> beiden ja eine Schnittmenge, was nach Vorraussetzung nicht
> sein soll.
Vorsicht: Du meinst, es ist klar, dass [mm] $k_1=k_2$ [/mm] gelten muss. Warum?
Nun ja: $b [mm] \in A_{k_1}$ [/mm] und $b [mm] \in A_{k_2}$ [/mm] liefert natürlich
$$b [mm] \in A_{k_1} \cap A_{k_2}\,.$$
[/mm]
Wäre [mm] $k_1 \not=k_2\,,$ [/mm] so wäre aber [mm] $A_{k_1} \cap A_{k_2}=\emptyset$ [/mm] und damit erhielten wir den Widerspruch $b [mm] \in \emptyset\,.$
[/mm]
Ich glaube, irgendwie sowas meintest Du auch. Aber Du musst da wirklich
ein bisschen "detailverliebter" arbeiten. Gerade zu Studienbeginn ist das
das A und O!
> Wow... ich hab echt erwartet, das ich Blödsinn geschrieben
> hab. Das baut mich heut Abend auf : )
Nein. Das war soweit schon okay! 
> Vielen Dank und noch ein schönen Abend : )
Ebenfalls. Gute Nacht!
Gruß,
Marcel
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