Äquivalenzrelation, Aufteilung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 28.05.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Überprüfe, wenn [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] Partitionen der Menge $X$ sind, dann ist $G = [mm] \{A \cap B: A \in S_1 \wedge B \in S_2\} \backslash \{\emptyset\}$ [/mm] eine Partition der Menge $X$. Wenn $R$ und $S$ Äquivalenzrelationen in $X$ sind, die den Partitionen [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] entsprechen, wie kann man dann die Äquivalenzrelation $T$ in $X$ beschreiben, die der Partition $G$ entspricht? |
Die erste Teilaufabe.
Ich muss zeigen:
1. [mm] $(\forall [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
2. [mm] $(\forall [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, C [mm] \cap [/mm] D [mm] \in [/mm] G)(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not [/mm] = C [mm] \cap [/mm] D [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = [mm] \emptyset)$
[/mm]
3. [mm] $(\forall [/mm] x [mm] \in X)(\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
1. Folgt direkt aus der Definition von $G$.
2. Ich nehme an $(A [mm] \cap B)\cap(C\cap [/mm] D) [mm] \not [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Es gibt also ein $x$, so dass $x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] D$. Aus der Annahme wissen wird, dass $A [mm] \not [/mm] = C$ oder $B [mm] \not [/mm] = D$, da sonst $A [mm] \cap [/mm] B = C [mm] \cap [/mm] D$. Wir wissen auch, dass $A, C [mm] \in S_1$ [/mm] und $B, D [mm] \in S_2$. [/mm] Unser $x$ liegt also in zwei verschiedenen Mengen einer Partition und dass kann aus der Definition der Partition nicht sein. Wir haben also $(A [mm] \cap B)\cap [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = [mm] \emptyset$. [/mm]
3. Ich nehme ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] X$. Aus der Definition der Partition wissen wir, dass es ein Element [mm] $S_1$ [/mm] der Aufteilung gibt, das $x$ enthält. Es gibt auch ein Element der Partition [mm] $S_2$, [/mm] das $x$ enthält. Wir nennen die Elemente jeweils $A$ und $B$. Es gibt also $A [mm] \cap [/mm] B$, so dass $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
Die zweite Teilaufabe.
Hier habe ich ein Problem, da ich nicht richtig verstehe was von mir erwartet wird.
In meinem Skript habe ich stehen $x [mm] R_S [/mm] y [mm] \Leftrightarrow (\exists [/mm] A [mm] \in [/mm] S)(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A)$. Dabei ist $S$ eine Partition der Menge $X$. Die Buchstaben sind jetzt unabhängig von den in der Aufgabe.
Dann habe ich vielleicht gedacht ich schreibe $xTy [mm] \Leftrightarrow (\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$), aber hier fällt mir der Bezug zu den Relationen $R$ und $S$. Bitte um Hilfe bzw. Tipps :D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 28.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Überprüfe, wenn [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm] "Aufteilungen" sind (ich
> weiß nicht ob Aufteilung ein richtiges deutsches Wort
> dafür ist,
vermutlich suchst Du das (in deutschen Gefilden durchaus bekannte) Wort
Partition - auch Zerlegung genannt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Di 28.05.2013 | | Autor: | ne1 |
Ja, danke. Ich habe es schon geändert, damit Diejenigen die mir helfen wollen, einfacher haben und nicht nachdenken müssen was ich gemeint habe :D.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:33 Mi 29.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> Die erste Teilaufabe.
> Ich muss zeigen:
> 1. [mm](\forall A \cap B \in G)A \cap B \not = \emptyset[/mm]
> 2.
> [mm](\forall A \cap B, C \cap D \in G)(A \cap B \not = C \cap D \Rightarrow (A \cap B) \cap (C \cap D) = \emptyset)[/mm]
>
> 3. [mm](\forall x \in X)(\exists A \cap B \in G)x \in A \cap B[/mm]
> 1. Folgt direkt aus der Definition von [mm]G[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Ich nehme an [mm](A \cap B)\cap(C\cap D) \not = \emptyset[/mm].
> Es gibt also ein [mm]x[/mm], so dass [mm]x \in A \wedge x \in B \wedge x \in C \wedge x \in D[/mm].
Also [mm] $A\cap C\not=\emptyset$ [/mm] und [mm] $B\cap D\not=\emptyset$.
[/mm]
Da [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] Partitionen sind somit $A=C$ und $B=D$.
Also [mm] $A\cap B=C\cap [/mm] D$.
> Aus der Annahme wissen wird, dass [mm]A \not = C[/mm] oder [mm]B \not = D[/mm],
> da sonst [mm]A \cap B = C \cap D[/mm].
Welche Annahme meinst du? Du nimmst also zusätzlich an, das [mm] $A\cap B\not=C\cap [/mm] D$ und möchtest dies zu einem Widerspruch führen?
> Wir wissen auch, dass [mm]A, C \in S_1[/mm]
> und [mm]B, D \in S_2[/mm]. Unser [mm]x[/mm] liegt also in zwei verschiedenen
> Mengen einer Partition und dass kann aus der Definition der
> Partition nicht sein. Wir haben also [mm](A \cap B)\cap (C \cap D) = \emptyset[/mm].
Wenn du die Widerspruchsannahme ergänzt, passt es!
> 3. Ich nehme ein beliebiges [mm]x \in X[/mm]. Aus der Definition der
> Partition wissen wir, dass es ein Element [mm]S_1[/mm] der
> Aufteilung gibt, das [mm]x[/mm] enthält. Es gibt auch ein Element
> der Partition [mm]S_2[/mm], das [mm]x[/mm] enthält. Wir nennen die Elemente
> jeweils [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]. Es gibt also [mm]A \cap B[/mm], so dass [mm]x \in A \cap B[/mm].
> Die zweite Teilaufabe.
> Hier habe ich ein Problem, da ich nicht richtig verstehe
> was von mir erwartet wird.
>
> In meinem Skript habe ich stehen [mm]x R_S y \Leftrightarrow (\exists A \in S)(x \in A \wedge y \in A)[/mm].
> Dabei ist [mm]S[/mm] eine Partition der Menge [mm]X[/mm]. Die Buchstaben sind
> jetzt unabhängig von den in der Aufgabe.
>
> Dann habe ich vielleicht gedacht ich schreibe [mm]xTy \Leftrightarrow (\exists A \cap B \in G)(x \in A \cap B \wedge y \in A \cap B[/mm]),
> aber hier fällt mir der Bezug zu den Relationen [mm]R[/mm] und [mm]S[/mm].
Guter Anfang!
Wie sehen denn die Relationen $R$ und $S$ aus?
Versuche dann [mm] $(\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)$ äquivalent mittels $R$ und $S$ auszudrücken.
(Sind für euch Relationen in X Teilmengen von [mm] $X\times [/mm] X$?)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 29.05.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke für deine Antworten.
>Sind für euch Relationen in X Teilmengen von $ [mm] X\times [/mm] X $?
Ja
>Wie sehen denn die Relationen $ R $ und $ S $ aus?
Ich würde sagen:
$xRy [mm] \Leftrightarrow (\exists [/mm] A [mm] \in S_1)(x \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A)$
$xSy [mm] \Leftrightarrow (\exists [/mm] A [mm] \in S_2)(x \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] B)$
>Versuche dann $ [mm] (\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) $ äquivalent mittels $ R $ und $ S $ auszudrücken.
$xTy [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $(\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G)(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $(\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] G [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \inB \Leftrightarrow$ [/mm] Hier wende ich die Definition von $G$ an
[mm] $(\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)(A [mm] \in S_1 \wedge [/mm] B [mm] \in S_2 \wedge x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] B)$
Geht das was ich gemacht habe in die Richtige Richtung oder ist mein Ansatz total falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:19 Fr 31.05.2013 | | Autor: | ne1 |
OK, dieses [mm] $\exists [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ hat mich verwirrt. Ich wusste nicht, dass ich einfach [mm] $\exists [/mm] A, B$ dafür schreiben konnte.
Dann kommt zum Schluss einfach nur
[mm] ...$\Leftrightarrow [/mm] xRy [mm] \wedge [/mm] xSy$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:02 Fr 31.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> OK, dieses [mm]\exists A \cap B[/mm] hat mich verwirrt. Ich wusste
> nicht, dass ich einfach [mm]\exists A, B[/mm] dafür schreiben
> konnte.
>
> Dann kommt zum Schluss einfach nur
> ...[mm]\Leftrightarrow xRy \wedge xSy[/mm]
Also [mm] $xTy\iff xRy\wedge [/mm] xSy$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$.
Man kann auch den Zusammenhang zwischen T, R und S auch durch [mm] $T=R\cap [/mm] S$ ausdrücken.
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