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| Aufgabe | Sei A eine Menge.
Sei R eine nichtleere Menge von Äquivalenzrelationen auf A. Zeigen sie, dass [mm] $\cap [/mm] R$ eine Äquivalenzrelation auf A ist. |
Wie geht man mit einer Relation auf eine Menge um?
Für eine Äquivalenzrelation gilt zu zeigen,
dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Für eine Relation zb. Y [mm] \subset [/mm] MxM heißt das ja:
reflexic,falls für alle x [mm] \in [/mm] M gilt xYx
symmetrisch,falls für alle x,y [mm] \in [/mm] M aus xYy folgt yRx
transitiv, falls für alle x,y,z [mm] \in [/mm] M aus xYy und yRz folgt xRz.
Und was genau bedeutet R ist eine nichtleere MENGE von Äquivalenzrelationen?
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Eine Äquivalenzrelation auf [mm]A[/mm] kann als Teilmenge des kartesischen Produktes [mm]A \times A[/mm] aufgefaßt werden mit den charakteristischen Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität. Wenn also jetzt eine nichtleere Menge von Äquivalenzrelationen gegeben ist, dann heißt das, daß viele solcher Teilmengen von [mm]A \times A[/mm] vorliegen. Und diese Teilmengen werden alle miteinander geschnitten. Und jetzt sollst du zeigen, daß für den Schnitt wieder die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Transitivität erfüllt sind. Eigentlich ist das nur ein banales Spiel mit dem Allquantor.
Könnte es sein, daß das "R" irgendwie kunstvoll verschlungen ist, z.B. [mm]\mathcal{R}[/mm] oder [mm]\mathfrak{R}[/mm]? Denn wenn man den Buchstaben [mm]R[/mm] für eine Äquivalenzrelation selbst wählt, sollte man eine Menge solcher Äquivalenzrelationen mit einem "komplizierteren" Buchstaben bezeichnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Di 24.01.2012 | | Autor: | userxyz123 |
Das ist natürlich richtig, es ist ein [mm] \mathcal{R}, [/mm] es war leider nur zu kompliziert für mich diesen Buchstaben zufinden :)
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