Äquivalenzrelation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | In Basel findet jährlich der Brauch des ”Vogel Gryff“ statt. Der Termin ist der Reihe nach der 13. Januar, der 20. Januar und der 27. Januar und dann von vorne. Definieren Sie eine dazu passende Äquivalenzrelation auf der Menge aller Jahre seit 1950 und verwenden Sie die Information, dass der Brauch 1952 am 20. Januar stattgefunden hat, um das Datum des ”Vogel Gryff“ im Jahr 2011 zu bestimmen. |
Hi Leute!
Ich hab obenstehende Aufgabe, die ich lösen möchte. Nur leider weiß ich gar nicht so recht, wie ich da rangehen soll. Könnt ihr mir helfen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab mir natürlich nochmals Gedanke dazu gemacht:
Hier geht es ja um Restklassen.
Dann kann ich ja das hier aufstellen:
$ [mm] [0]_3 [/mm] = [1952] [mm] \rightarrow [/mm] 20.1. $
$ [mm] [1]_3 [/mm] = [1951] [mm] \rightarrow [/mm] 13.1. $
$ [mm] [2]_3 [/mm] = [1950] [mm] \rightarrow [/mm] 27.1. $
$ [mm] [2011]_3 [/mm] = [2011 - [mm] 1952]_3 [/mm] = [mm] [59]_3 [/mm] $
An der Stelle weiß ich aber jetzt nicht mehr weiter... Könnt ihr mir weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hi!
> Ich hab mir natürlich nochmals Gedanke dazu gemacht:
>
> Hier geht es ja um Restklassen.
>
> Dann kann ich ja das hier aufstellen:
>
> [mm][0]_3 = [1952] \rightarrow 20.1.[/mm]
> [mm][1]_3 = [1951] \rightarrow 13.1.[/mm]
>
> [mm][2]_3 = [1950] \rightarrow 27.1.[/mm]
Also der Ansatz ist richtig, aber die Ausführung leider nicht.
Hier geht es um Restklassen. Aber du hast oben falsch gerechnet, denn 1950 ist in der Restklasse von 0. Du rechnest hier ja modulo3, also du teilst durch 3 und der Rest gibt an in welcher Restklasse die Zahl ist.
Wenn du das so machst verändert sich oben einiges.
Und dann musst du das nur noch richtig formalisieren. Also:
Jahr x ist in der Restklasse von 0 [mm] \gdw [/mm] das Fest am XX.Januar ist.
Jahr x ist in der Restklasse von 1 [mm] \gdw...
[/mm]
...
Dann kannst du noch kurz zeigen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Also Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen. Wobei das eigentlich evident ist.
Und dann musst du nur noch berechnen in welcher Restklasse 2011 liegt und dann hast du dein Ergebnis.
>
> [mm][2011]_3 = [2011 - 1952]_3 = [59]_3[/mm]
>
> An der Stelle weiß ich aber jetzt nicht mehr weiter...
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Grüße!
skoopa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Ich krings irgendwie nicht hin meine Antwort zu editieren...
Aber ich hab noch was vergessen. Und zwar:
> [mm][2011]_3 = [2011 - 1952]_3 = [59]_3[/mm]
Das gilt so nicht. Wenn du dir anschaust, dann ist [mm] [2011]_{3}=[1]_{3}, [/mm] aber [mm] [59]_{3}=[2]_{3}.
[/mm]
Also stimmen die Restklassen nicht überein. Das liegt daran, dass 1952 nicht in der Resklasse von 0 liegt. Wenn ist allerdings [mm] [2011-x]_{3}=[2011]_{3} [/mm] wenn [mm] [x]_{3}=[0]_{3}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort.
Zitat: "Aber du hast oben falsch gerechnet, denn 1950 ist in der Restklasse von 0. Du rechnest hier ja modulo3, also du teilst durch 3 und der Rest gibt an in welcher Restklasse die Zahl ist."
Ich hab oben gar nix gerechnet. Ich hab einfach willkürlich die "festen" Jahre dem richtigen Datum zugeordnet das man ja aus dem Text lesen kann. Das es eine dreier Restklasse sein muss hab ich mir daran vorgestellt, weil ja nur 3 Jahre zur Verfügung stehen aus dem ich mir das Ergebnis herleiten muss. Könntest du mir die Aufgabe vielleicht sehr ausführlich darlegen? Ich glaub ich hab da einiges nicht verstanden. Was Modulo-Rechnung ist weiß ich aber...; aber nicht in Zusammenhang mit Restklassen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Nunja das ist ja so, du hast eben drei Daten an denen das Fest stattfinden kann. Diese Daten kommen immer in der gleichen Reihenfolge dran.
Das heißt du kannst diese Daten mit den mit den Elementen von [mm] \IF_{3} [/mm] identifizieren, wobei [mm] \IF_{3} [/mm] der 3-elementige Restklassenkörper mit den Elementen { [mm] \overline{0},\overline{1},\overline{2} [/mm] } ist. Die überstrichene Zahl bezeichnet jeweils die Restklasse dieser Zahl. Jede ganze Zahl kann eindeutig mit einem dieser Elemente identifiziert werden, in dem man eine Ganzzahldivision mit Rest durchführt. Also [mm] \bruch{z}{3}=a+r [/mm] wobei [mm] a\in\IZ [/mm] und [mm] r\in{ \overline{0},\overline{1},\overline{2} } [/mm] der Rest der Ganzzahldivision ist.
Mehr Infos hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenkörper
http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
Und du kannst jetzt bei deiner Aufgabe quasi diese Struktur dieses Körpers ausnutzen.
Du nimmst einfach das Jahr und rechnest modulo 3. Und dann identifizierst du jede dieser Äquivalenzklassen mit einem Datum. Das kannst du dann ja dadurch machen, dass du weißt welches Datum zur Restklasse von 1952 gehört.
Also deine Relation muss dann irgendwie so aussehen, wie ich es vorhin geschrieben habe.
Ich hoffe das war jetzt irgendwie verständlich 
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort; und ja, das war verständlich. Auf jeden Fall verständlicher als mein Skript welches leider NICHT verstanden habe. Da steht nämlich gar nix von Modulo. Ich bin jetzt mal soweit:
1952 : 3 = 650 R2 -> Restklasse: [mm] [2]_3
[/mm]
1951 : 3 = 650 R1 -> Restklasse: [mm] [1]_3
[/mm]
1950 : 3 = 650 R0 -> Restklasse: [mm] [0]_3
[/mm]
[mm] [2]_3 [/mm] = [1952] = 20.1.
[mm] [1]_3 [/mm] = [1951] = 13.1.
[mm] [0]_3 [/mm] = [1950] = 27.1.
Soweit sollte es doch nun stimmen, oder?
Wie geht das jetzt weiter? Wie komm ich dann hier auf das Jahr?
Warum muss ich nun [mm] [2011]_3 [/mm] = [2011 - [mm] 1950]_3 [/mm] = [mm] [61]_3 [/mm] = 1 [mm] \rightarrow [/mm] Das Fest wird 2011 am 13.1. gefeiert.
Das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe, ist, warum ich nun 2011 -1950, also der Restklasse 0 rechnen muss. Auf das endgültige Ergebnis (also 1) komme ich wieder da man die Modulorechnung mit 61 ausführen muss, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> Danke für deine Antwort; und ja, das war verständlich.
> Auf jeden Fall verständlicher als mein Skript welches
> leider NICHT verstanden habe. Da steht nämlich gar nix von
> Modulo. Ich bin jetzt mal soweit:
>
> 1952 : 3 = 650 R2 -> Restklasse: [mm][2]_3[/mm]
> 1951 : 3 = 650 R1 -> Restklasse: [mm][1]_3[/mm]
> 1950 : 3 = 650 R0 -> Restklasse: [mm][0]_3[/mm]
>
> Formeln
> [mm][2]_3[/mm] = [1952] = 20.1.
> [mm][1]_3[/mm] = [1951] = 13.1.
> [mm][0]_3[/mm] = [1950] = 27.1.
>
> Soweit sollte es doch nun stimmen, oder?
Jopp. Das stimmt alles soweit.
Zur Notation: Normalerweise schreibt man, wenn klar ist in welchem Körper oder Ring man sich befindet, die Restklasse von x als [mm] \overline{x}, [/mm] dann kann man sich diese Klammern sparen.
>
> Wie geht das jetzt weiter? Wie komm ich dann hier auf das
> Jahr?
>
> Warum muss ich nun [mm][2011]_3[/mm] = [2011 - [mm]1950]_3[/mm] = [mm][61]_3[/mm] = 1
> [mm]\rightarrow[/mm] Das Fest wird 2011 am 13.1. gefeiert.
Das stimmt auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe, ist, warum
> ich nun 2011 -1950, also der Restklasse 0 rechnen muss. Auf
> das endgültige Ergebnis (also 1) komme ich wieder da man
> die Modulorechnung mit 61 ausführen muss, oder?
Das hab ich vorhin nur zur Vereinfachung gemacht. Man sieht halt leichter zu welcher Restklasse 61 gehört als bei 2011. Allerdings ist hier sehr wichtig, dass [mm] \overline{1950}=\overline{0} [/mm] ist. Sonst wird die Restklasse verändert. Das kannst du dir ganz einfach an ein paar Beispielen klarmachen.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 31.01.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich glaub ich muss nochmal gezielter Nachfrage:
Warum muss ich so rechnen:
[2011 - 1950]
In Worten: Warum muss ich das Jahr das ich wissen will minus dem Jahr aus der Restklasse 0 rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 31.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Du musst das nicht machen. Ich hab das nur geschrieben, weil du in deinem ersten Lösungsansatz irgendsowas geschrieben hattest, was allerdings in dem Fall den du da betrachtet hattest, also im Fall der falschen Äquivalentrelation, falsch war.
Du musst also nicht 2011-1950 rechnen.
Um die Äquivalenzklasse von 2011 zu bestimmen kannst du auch einfach 2011 modulo 3 rechnen. Das ist der einfachste Weg.
Ich hoffe das ist klar.
Ich wollte nur sagen, dass du wenn du 2011-1950 betrachtest leichter siehst, in welcher Äquivalenzklasse 2011 liegt. Es ist einfach leichter 61 modulo 3 zurechnen als 2011 modulo 3. Das ist alles.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Di 01.02.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Ich wollte nur sagen, dass du wenn du 2011-1950 betrachtest leichter siehst, in welcher Äquivalenzklasse 2011 liegt. Es ist einfach leichter 61 modulo 3 zurechnen als 2011 modulo 3. Das ist alles."
Aber woher weiß ich, dass ich 2011 - 1950 rechnen soll, wenn ich mir die Modulo-Rechnung leichter machen will? Ich könnte ja z.B. auch 2011- 1952 rechnen... Besser: Woher weiß ich, dass minus 1950 rechnen muss ums mir mit der Modulo-Rechnung einfacher zu machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du von a=n mod 3 b=0 mod 3 abziehst ist (a-b)=? mod 3
Gruss leduart
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