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| Aufgabe | EDIT: Formeln wurden überarbeitet, bitte nächstes Mal FOrmeleditor benutzen!
Sei E eine nichtleere Menge und seien R und S zwei Relationen auf E. Durch xS [mm] \circ [/mm] Rz [mm] :\gdw (\exists y\in [/mm] E: xRy und ySz) wird eine Relation (S [mm] \circ [/mm] R) definiert.
Beweisen sie das aus der Symmetrie von S,R und (S [mm] \circ [/mm] R) = (R [mm] \circ [/mm] S) die Symmetrie von (R [mm] \circ [/mm] S) folgt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider verstehe ich diese Aufgabe nicht. Kann mir vielleicht jemand ein reales Beispiel zu diesen Relationen nennen oder mir die Aufgabenstellung zumindest in Worte übersetzen.
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> EDIT: Formeln wurden überarbeitet, bitte nächstes Mal
> FOrmeleditor benutzen!
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> Sei E eine nichtleere Menge und seien R und S zwei
> Relationen auf E. Durch xS [mm]\circ[/mm] Rz [mm]:\gdw (\exists y\in[/mm] E:
> xRy und ySz) wird eine Relation (S [mm]\circ[/mm] R) definiert.
> Beweisen sie das aus der Symmetrie von S,R und (S [mm]\circ[/mm] R)
> = (R [mm]\circ[/mm] S) die Symmetrie von (R [mm]\circ[/mm] S) folgt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Leider verstehe ich diese Aufgabe nicht. Kann mir
> vielleicht jemand ein reales Beispiel zu diesen Relationen
> nennen oder mir die Aufgabenstellung zumindest in Worte
> übersetzen.
Was verstehst du nicht?
Eine binäre Relation (die hier vorliegt) ist eine Menge von Paaren, z.B.
R = [mm] \{(1,1),(2,2),(3,5)\}
[/mm]
Indem man schreibt: 3R5 meint man eigentlich (3,5) [mm] \in [/mm] R. Nun will man aber, um solch eine Menge von Paaren (d.h. eine Relation) zu definieren, nicht jedes einzelne Paar hinschreiben. Deswegen überlegt man sich, wie man die Mengen "kürzer" beschreiben kann. Und das geht zum Beispiel mit
xRy [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] x+y = 2
(so was in der Art eben). Hier kommen wir auch noch zu etwas wichtigem; Man fragt sich natürlich, was für x und y ich überhaupt nehmen kann. Deswegen wird Relationen immer eine Menge zugrunde gelegt, hier ist das E. Daraus können die Bestandteile der Paare der Relation sein. Zum Beispiel falls E = [mm] \{1,2,3,4,5\} [/mm] dürfte eine Relation über dieser Menge nicht sowas wie (1,6) enthalten, weil 6 gar nicht in E drin ist.
Wenn du also etwas der Form xRy dastehen hast, dann ist das eine Aussage, nämlich die, dass das Paar (x,y) in der Relationsmenge enthalten ist.
Zur Aufgabe:
Du hast nun zwei solcher Relationen R,S, d.h. also Mengen, gegeben. Du weißt so gut wie nichts über R und S, außer dass sie Relationen sind.
Zusätzlich wird nun eine neue Relation definiert, nämlich die Relation [mm] (R\circ [/mm] S). Und zwar so:
x(R [mm] \circ [/mm] S)z [mm] :\gdw (\exists y\in [/mm] E: xRy und ySz)
Was heißt das? (x,y) ist in der Relation [mm] (R\circ [/mm] S) enthalten, wenn es irgendein [mm] y\in [/mm] E (der Grundmenge) gibt, sodass (x,y) [mm] \in [/mm] R und (y,z) [mm] \in [/mm] S. Das ist einfach eine Definition und den mathematischen Hintergrund muss man nicht verstehen. Man kann sich das aber so veranschaulichen:
x und z
sind losgelöst von einander. Sie können nur verbunden werden, wenn es ein y gibt, sodass einerseits R eine Verbindung von x zu y und andererseits y eine Verbindung von y zu z aufbauen kann:
x y z
|-------R-------| |-------S-------|
Das nennt man dann [mm] x(R\circ [/mm] S)z.
Gut - zurück zu deiner Aufgabe. Ehrlich gesagt habe ich mir obige Veranschaulichung beim Lösen der Aufgabe nicht klar gemacht, denn man braucht sie nicht. Du hast 3 Voraussetzungen, die im Text gegeben sind, und sollst etwas folgern. Deine 3 Voraussetzungen sind:
- R ist symmetrisch (D.h.: Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] R, dann ist auch (y,x) [mm] \in [/mm] R)
- S ist symmetrisch (D.h.: Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] S, dann ist auch (y,x) [mm] \in [/mm] S)
- Es gilt [mm] (R\circ [/mm] S) = [mm] (S\circ [/mm] R), d.h. für alle (x,y) [mm] \in (R\circ [/mm] S) gilt: [mm] x(R\circ [/mm] S)y = [mm] x(S\circ [/mm] R)y
Du musst zeigen:
[mm] (R\circ [/mm] S) ist symmetrisch, d.h. Wenn für [mm] x,y\in [/mm] E
[mm] x(R\circ [/mm] S)y , d.h. (x,y) [mm] \in (R\circ [/mm] S)
gilt dann ist auch
[mm] y(R\circ [/mm] S)x , d.h. (y,x) [mm] \in [/mm] (R [mm] \circ [/mm] S)
Versuche es mal! Beginne so:
[mm] x(R\circ [/mm] S)y heißt nach Definition, dass ....
Wegen der Symmetrie von S und R kann man nun auch schreiben .....
Nun kann man die Aussagen, zwischen denen das "und" steht, auch einfach vertauschen: .....
Nun kann man das nach Definition wieder umschreiben, sodass dasteht: ? [mm] (R\circ [/mm] S) ?
Mit der letzten Voraussetzung erhält man ......
Stefan.
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Hallo Danke für deine ausführliche Antwort. Leider kann ich nicht alles lesen was du geschrieben hast. Ich hatte das Problem vorhin schon mal bei einer anderen Frage. Hab ich vielleicht unbewußt etwas an meinen Einstellungen geändert. Kannst du mir weiterhelfen ich bin noch nicht lange Mitglied hier?
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Hallo,
eigentlich müsste es funktionieren. Hier trotzdem nochmal Bilschirmfotos:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Miceludco |
Leider kann ich wieder nicht alles lesen was du geschrieben hast. Ich muss auf jeden Fall irgendwas an meinen Einstellungen unbewusst verändert haben, so dass nicht alles was du schreibst bei mir angezeitgt wird. Trotzdem Danke für deine Mühe. Wenn es dir nichts ausmacht könntest du das ganze wieder als Bildschirmfoto senden?
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| Aufgabe | | Geben sie zwei symmetrische Relationen R und S an, für die S Vekettung R nicht symmetrisch ist. ( Hinweis es genügt eine Menge mit zwei Elementen zu betrachten). |
Ich habe hier eine weitere Teilaufgabe zu der Aufgabe.
Genügt es hier, dass ich sage ich beobachte eine Menge mit zwei Elementen x und y. Für jeweils S und R ist die Symmetrie bereits durch x und y gezeigt. Allerdings ist es nicht möglich die Symmterie für S Verkettung R zu zeigen da kein drittes Element Z in meiner zwei-elementigen Menge existiert.
Wäre das ein Lösungsansatz?
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> Geben sie zwei symmetrische Relationen R und S an, für die
> S Vekettung R nicht symmetrisch ist. ( Hinweis es genügt
> eine Menge mit zwei Elementen zu betrachten).
> Ich habe hier eine weitere Teilaufgabe zu der Aufgabe.
> Genügt es hier, dass ich sage ich beobachte eine Menge mit
> zwei Elementen x und y. Für jeweils S und R ist die
> Symmetrie bereits durch x und y gezeigt. Allerdings ist es
> nicht möglich die Symmterie für S Verkettung R zu zeigen da
> kein drittes Element Z in meiner zwei-elementigen Menge
> existiert.
> Wäre das ein Lösungsansatz?
Hallo!
Ich fühle mich bei meiner folgenden Antowrt nur bedingt sicher, deswegen stelle ich den Status nur auf halb beantwortet.
Ich glaube nicht, dass das ein Lösungsansatz wäre. Schau dir die Menge [mm] \{1,2\} [/mm] an und die beiden Relationen
R = [mm] \{(1,1),(2,2)\}
[/mm]
S = [mm] \{(1,2),(2,1)\}
[/mm]
[mm] 1(R\circ [/mm] S)2 [mm] :\gdw \exists y\in\{1,2\}: (1,y)\in [/mm] R und (y,2) in S
und da gibt es durchaus ein Element y = 1, was diese Bedingung erfüllen würde. Man kann sogar mit
[mm] 2(R\circ [/mm] S)1 [mm] :\gdw \exists y\in\{1,2\}: (2,y)\in [/mm] R und (y,1) in S
und y = 2 zeigen, dass [mm] (R\circ [/mm] S) für diese Wahl von R und S symmetrisch ist.
Behalte R und S von oben bei - was für ein Element könnte ich jetzt aus welcher Relation R oder S herausnehmen, damit sie trotzdem symmetrisch bleibt, aber eine der beiden obigen Aussagen für [mm] (R\circ [/mm] S) nicht mehr erfüllt ist?
Stefan.
PS.: Bildschirmfoto:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich könnte aus der Relation R (2,2) herausnehmen, dann wären R uns S noch symmetrisch aber 1 (R Verkettung S ) 1 wären nicht mehr symmetrisch. Kann das seien?
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> Ich könnte aus der Relation R (2,2) herausnehmen, dann
> wären R uns S noch symmetrisch
Hallo,
ja.
> aber 1 (R Verkettung S ) 1
Was meinst Du mit 1 (R Verkettung S ) 1
> wären nicht mehr symmetrisch. Kann das seien?
Wenn Du's so machst wie oben beschrieben, ist [mm] R\circ [/mm] S nicht symmetrisch.
Gruß v. Angela
P.S.: Eingabehifen für den Formeleditor befinden sich unterhalb des Eingabefensters.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Di 04.11.2008 | | Autor: | Miceludco |
Hallo,
die Eingabehilfe die du meinst wird bei mir nicht mehr angezeigt. Weißt du vielleicht was ich falsch mache? oder ob ich irgendetwas umgestellt habe? Ich kann auch viele Antworten nicht vollständig lesen und ich denke das hängt damit zusammen. Soll ich mich an den Webmaster wenden?
<<<<<Das Problem hat sich erledigt
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