Äquivalenzrelation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 So 19.11.2006 | | Autor: | moen |
Hallo,
Ich habe eine Aufgabe, wo ich mir mit der Lösung nicht ganz sicher bin:
Als ich habe eine Relation auf G: x~y :<==> x°y^-1
Und ich soll zeigen, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Und damit das eine Ä.Relation ist, muss die Relation Reflexsiv, Symmetrisch, und transitiv sein.
Zur Reflexsivität:
Def: x~x
Also:
x°x
da x=x, ist es reflexsiv.
Zur Symmetrie:
Def: x~y <==> y~x
Also:
==> x ° y^-1 = y^-1 ° x
==> y^-1 ° x = x ° y^-1
==> y^-1 ~ x = x ~ y^-1
ist also symmetrisch.
Zur Transitivität:
Def: x~y und y~z ==> x~z
Also:
x ° y^-1 und y^-1 ° z daraus folgt x°z. Laut Definition ist x°z also x~z.
ist also transitiv.
ist das so richtig?!
Danke schonmal für die Hilfe! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 So 19.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Moen,
> Hallo,
>
> Ich habe eine Aufgabe, wo ich mir mit der Lösung nicht ganz
> sicher bin:
>
> Als ich habe eine Relation auf G: x~y :<==> x°y^-1
Da fehlt noch was wichtiges.
x steht in Relation zu y genau dann, wenn [mm] x\circ y^{-1} [/mm] was? Meinst du wenn [mm] x\circ y^{-1}=y^{-1}\circ [/mm] x ? Oder wenn [mm] x\circ y^{-1}=1 [/mm] ?
Und was ist G? Eine Gruppe,nehme ich an.Ist sie evtl. kommutativ? Da fehlen noch ein paar Infos.
l G walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 19.11.2006 | | Autor: | moen |
Ja genau, G soll eine Gruppe sein. Die Aufgabe lautet genau:
Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung °, und sei H [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe. Wir definieren wie folgt eine Relation auf G: x ~ y : [mm] \gdw [/mm] x ° [mm] y^{-1} \in [/mm] H.
Zeigen Sie: Die soeben definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 19.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi moen,
also du sollst die 3 Eigenschaften zeigen:
1. Reflexivität:
zu zeigen: [mm] x\sim [/mm] x, d.h. z.z. ist [mm] x\circ x^{-1}\in [/mm] H
klar,da [mm] x\circ x^{-1}=1\in [/mm] H
Die "1" ist hier das neutale Element der Verknüpfung [mm] "\circ" [/mm] und als solches per Definition in H enthalten.
2. Symmetrie:
z.z. [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw y\sim [/mm] x ,d.h.
a) es sei [mm] x\sim [/mm] y zeige, dass [mm] y\sim [/mm] x
b) es sei [mm] y\sim [/mm] x zeige, dass [mm] x\sim [/mm] y
zu a) [mm] x\sim [/mm] y , d.h.
[mm] x\circ y^{-1}=h\in [/mm] H [mm] (x\circ y^{-1} [/mm] is irgendein Element aus H , jetzt von rechts mit y verknüpfen)
[mm]x\circ \underbrace{y^{-1}\circ y}_{=1}=h\circ y [/mm] (von links mit [mm] h^{-1})
[/mm]
[mm]h^{-1}\circ x=y[/mm]
z.z.: [mm] y\sim [/mm] x,d.h. [mm] y\circ x^{-1}\in [/mm] H
benutze von oben, dass [mm]h^{-1}\circ x=y[/mm]
[mm]y\circ x^{-1}=h^{-1}\circ x\circ x^{-1}=h^{-1} \in H [/mm]
Da [mm] h\in [/mm] H , ist auch sein Inverses (bzgl. der Verkn. [mm] "\circ") h^{-1}\in [/mm] H , damit ist a) gezeigt.
b) analog. (es ist eine gute Übung das nochmal auszuschreiben)
Bemerkung: Die "Verknüpfung von rechts" und "Verkn. v. links" sind wichtig, da G nicht kommutativ ist.
3. Transitivität
es sei [mm] x\sim [/mm] y und [mm] y\sim [/mm] z , [mm] x,y,z\in [/mm] G z.z. [mm] x\sim [/mm] z, d.h. [mm] x\circ z^{-1}\in [/mm] H
Versuch mal selbst auf die Lösung zu kommen. Du musst zeigen, dass sich [mm] x\circ z^{-1} [/mm] aus Elementen aus H schreiben lässt, dann folgt der Rest mit der Abgeschlossenheit von H. (Wenn du nicht weisst was ich meine, musst du dich nochmal mit den Eigenschaften einer Gruppe vertraut machen.) Versuch so ähnlich wie in 2. vorzugehen.
Wenn du partout nicht weiterkommst, zeig mal wo du steckenbleibst.
L G walde
|
|
|
|
