Äquivalenz zweier Normen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Kipard |
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Hallo Forum,
an folgender Aufgabe verzweifel ich momentan:
Betrachtet sei der [mm] \IR [/mm] -Vektorraum C([a,b], [mm] \IR [/mm] ) . Es ist ein Intervall zwischen a und b (fest aber beliebig) der stetigen Funktionen.
Zeigen Sie, dass die sup-Norm := sup{|f(x)|} und die für ein festes aber beliebiges a > 0 zugehörige [mm] \alpha [/mm] -Norm := sup{|f(x)| * exp(- [mm] \alpha [/mm] * x)} äquivalente Normen auf dem obigen [mm] \IR [/mm] - Vektorraum sind.
Zwei Normen n := ||.|| und m := |||.||| auf V heißen äquivalent, wenn: es zwei Konstanten k > 0 und q > 0 gibt, so dass k * ||x|| <= |||x||| <= q * ||x|| [mm] \forall [/mm] x Element V
Ich habe mir bisher überlegt, dass man die exp(- [mm] \alpha [/mm] * x) Funktion durch exp(-a * x) abschätzen könnte, so dass eine Abschätzung nach oben exp(-a * x) * sup{|f(x)|} wäre. Nach unten kann ich aber bloß auf 0 abschätzen und 0 kann ich nicht als Konstante > 0 für die Äquivalenz nutzen.
Wie kann ich also die Äquivalenz zeigen?
Vielen Dank, Kipard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Kipard!
Für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt:
[mm] $e^{\alpha(a-x)} \le [/mm] 1 [mm] \le e^{\alpha(b-x)}$
[/mm]
und daher:
$|f(x)| [mm] \cdot e^{\alpha(a-x)}^\le [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] |f(x)| [mm] \cdot e^{\alpha(b-x)}$.
[/mm]
Daraus können wir schließen:
$c [mm] \cdot \sup\limits_{x \in [a,b]} \{|f(x)| e^{-\alpha x}\} \le \sup\limits_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] C [mm] \cdot \sup\limits_{x \in [a,b]} \{|f(x)| e^{-\alpha x}\}$
[/mm]
mit
$c:= [mm] e^{\alpha a}>0$ [/mm] und [mm] $C:=e^{\alpha b}>0$.
[/mm]
War doch naheliegend, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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