Äquivalenz von Metriken < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für einen metrischen Raum (X,d) durch
d' (x,y) = [mm] \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}
[/mm]
und eine zu d äquivalente Metrik definiert wird. |
Hallöchen,
hab da so ein Problem mit dem Finden der Konstanten c,C. Wär echt nett von euch wenn ihr mir hier unter die Arme greifen könntet. Seit euch meinem Dank gewiss.
c d'(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,y) [mm] \le [/mm] C d'(x,y)
Überlegungen:
[mm] \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \bruch{d(x,y)}{d(x,y)} [/mm] = 1 --> meine Schlussfolgerung hierbei wäre: eine der Konstanten ist eins, das der Limes des ersten Terms für gegen unendlich großen Abstand sozusagen gegen 1 geht, damit ist das C, aber ist das logisch?
Und wie komme ich auf c?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für einen metrischen Raum (X,d) durch
> d' (x,y) = [mm]\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/mm]
> und eine zu d äquivalente Metrik definiert wird.
> Hallöchen,
> hab da so ein Problem mit dem Finden der Konstanten c,C.
> Wär echt nett von euch wenn ihr mir hier unter die Arme
> greifen könntet. Seit euch meinem Dank gewiss.
>
>
> c d'(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,y) [mm]\le[/mm] C d'(x,y)
Vorsicht !! Das ist nicht die Def. der Äquivalenz zweier Metriken !
(wahrscheinlich hast Du es mit der Äquivalenz von Normen verwechselt)
Die Metriken d und d' sind äquivalent [mm] \gdw [/mm] aus [mm] d(x_n,x) \to [/mm] 0 folgt stets [mm] d'(x_n,x) \to [/mm] 0 und umgekehrt.
Dazu genügt es zu zeigen:
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen, so gilt:
[mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (\bruch{a_n}{1+a_n}) [/mm] ist eine Nullfolge
FRED
P.S: überlege Dir mal warum
d(x,y) $ [mm] \le [/mm] $ C d'(x,y)
nicht gelten kann.
>
> Überlegungen:
> [mm]\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \bruch{d(x,y)}{d(x,y)}[/mm] = 1 -->
> meine Schlussfolgerung hierbei wäre: eine der Konstanten
> ist eins, das der Limes des ersten Terms für gegen
> unendlich großen Abstand sozusagen gegen 1 geht, damit ist
> das C, aber ist das logisch?
> Und wie komme ich auf c?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Ohhhh,
Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast.
> Die Metriken d und d' sind äquivalent [mm]\gdw[/mm] aus [mm]d(x_n,x) \to[/mm]
> 0 folgt stets [mm]d'(x_n,x) \to[/mm] 0 und umgekehrt.
Das ist einleuchtend.
>
> Dazu genügt es zu zeigen:
>
> Ist [mm](a_n)[/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen, so gilt:
>
> [mm](a_n)[/mm] ist eine Nullfolge [mm]\gdw (\bruch{a_n}{1+a_n})[/mm] ist eine
> Nullfolge
>
soweit gehe ich ja noch mit, aber
warum das:
> d(x,y) [mm]\le[/mm] C d'(x,y)
nicht gelten kann, bin jetzt gerade echt irgendwie überfragt, entweder zu früh, komm nicht drauf oder ist einfach zu hoch für mich. Die Gleichheit wäre nur erfüllt wenn beide Nullvektoren inne hätten, da bin ich mir sicher, ...
denke ich...
Dann bei (0,1) ist nicht einmal Lsg. mgl. im reellen. Ich glaube, da der letztere Term gegen Null strebt muss die Konstante C enorm groß gewählt werden um überhaupt größer zu werden, ich persönlich kann irgendwie nicht ausschließen, dass dies nicht mgl. ist.
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn das
d(x,y) $ [mm] \le [/mm] $ C d'(x,y)
gelten würde, so wäre d(x,y) [mm] \le [/mm] C-1 !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Dankeschön, hat mir sehr geholfen.
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