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| Aufgabe | Seien G [mm] \subset \IR^d [/mm] ein Gebiet, T>0. Ferner sei u:[0,T]x [mm] \overline{G} \to \IR [/mm] . Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:
i) u [mm] \in C^0([0,T]x \overline{G})
[/mm]
ii)(t [mm] \to [/mm] u(t,.)) [mm] \in C^0([0,T],C^0(\overline{G})) [/mm] |
Bei dieser Aufgabe fehlt mir im Moment leider jeglicher Ansatz. Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien G [mm]\subset \IR^d[/mm] ein Gebiet, T>0. Ferner sei u:[0,T]x
> [mm]\overline{G} \to \IR[/mm] . Zeigen Sie, dass die folgenden
> Bedingungen äquivalent sind:
> i) u [mm]\in C^0([0,T]x \overline{G})[/mm]
> ii)(t [mm]\to[/mm] u(t,.)) [mm]\in C^0([0,T],C^0(\overline{G}))[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe fehlt mir im Moment leider jeglicher
> Ansatz. Danke für eure Hilfe!
Stetigkeit der Abbildung in ii) setzt voraus, dass auf [mm] C^0(\overline{G}) [/mm] eine Topologie def. ist. Solange nicht klar ist welche, kann man Dir nicht helfen.
Ist G beschränkt ? Wenn ja, so könnte man [mm] C^0(\overline{G}) [/mm] mit der Maximumsnorm versehen...
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Do 24.10.2013 | | Autor: | Martin1303 |
Ich denke wir bewegen uns hier im Banachraum [mm] (R^n,||.||)
[/mm]
G ist abgeschlossen. Mehr Infos habe ich leider nicht.
Danke schon mal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Martin 1303!
> Ich denke wir bewegen uns hier im Banachraum [mm](R^n,||.||)[/mm]
Die berechtigte Frage von Fred war nicht die nach der Topologie auf irgendeinem [mm] $\IR^n$, [/mm] sondern nach der Topologie auf [mm] $C^0(\overline{G})$, [/mm] die gemeint ist.
Falls du das mithilfe der Vorlesung nicht beantworten kannst, solltest du deinen Übungsleiter oder den zuständigen Koordinator fragen.
> G ist abgeschlossen. Mehr Infos habe ich leider nicht.
G ist offen. Woher kommst du darauf, dass G auch abgeschlossen sei? (Dann wäre einfach [mm] $G=\IR^d$.)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Do 24.10.2013 | | Autor: | Martin1303 |
Hallo Zusammen,
G ist in der Tat nicht beschränkt. [mm] C^0 (\overline [/mm] G) ist ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] ausgestattet mit Addition und skalarer Multiplikation.
Damit müsste ich doch irgendwie eine Abschätzung über die gängigen Normen hinbekommen? Aber wie genau macht man das? Oder gibt es ein anderes Vorgehen?
Danke für Eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:15 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> G ist in der Tat nicht beschränkt. [mm]C^0 (\overline[/mm] G) ist
> ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] ausgestattet mit Addition und
> skalarer Multiplikation.
Ja, aber mit welcher Norm/Metrik/Topologie soll dieser Vektorraum nun ausgestattet sein?
> Damit müsste ich doch irgendwie eine Abschätzung über
> die gängigen Normen hinbekommen? Aber wie genau macht man
> das? Oder gibt es ein anderes Vorgehen?
Die Aufgabe lässt sich nicht bearbeiten, solange unklar ist, wie sie gemeint ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Zusammen,
>
> G ist in der Tat nicht beschränkt. [mm]C^0 (\overline[/mm] G) ist
> ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] ausgestattet mit Addition und
> skalarer Multiplikation.
> Damit müsste ich doch irgendwie eine Abschätzung über
> die gängigen Normen hinbekommen?
Wenn G nicht beschränkt ist, was sollen dann bitteschön denn die "gängigen" Normen auf $ [mm] C^0(\overline{G}) [/mm] $ sein ??
Für stetige Funktionen f : [mm] \overline{G}\to \IR, [/mm] wobei G [mm] \subseteq \IR^n [/mm] ein beschränktes Gebiet ist, hat man z.B. als "gängige" Normen:
[mm] $||f||_{\infty} [/mm] = [mm] \sup \{|f(x)|: x \in \overline{G}\}$
[/mm]
oder, für $p [mm] \in \IR$,mit [/mm] $p [mm] \ge [/mm] 1$,
[mm] $||f||_{p} =(\integral_{\overline{G}}^{}{|f(x)|^p dx})^{1/p}.
[/mm]
Ist G unbeschränkt, so sind obige "Normen" völlig sinnlos, weil es keine Normen sind und sie für die meisten Funktionen = [mm] \infty [/mm] ausfallen.
> Aber wie genau macht man
> das? Oder gibt es ein anderes Vorgehen?
Zum 3. Mal: mit welcher Topologie ist $ [mm] C^0(\overline{G}) [/mm] $ ausgestattet ?
FRED
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> Danke für Eure Hilfe!
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