Äquivalenz von Aussagen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 So 24.07.2005 | | Autor: | toivel |
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Sei A [mm] \in \IR^{n \times n}. [/mm] Zeigen Sie die Äquvalenz folgender Aussagen:
(1) Für alle X [mm] \IR^{n \times n} [/mm] ist AX = XA.
(2) Es gibt ein a [mm] \in \IR [/mm] mit A = [mm] a*E_{n}.
[/mm]
Um die Äquvalenz zu zeigen, muß ich doch (1) => (2) und (2) => (1) zeigen.
(2) => (1) habe ich wie folgt gezeigt:
A = [mm] a*E_{n}
[/mm]
AX = [mm] a*E_{n}*X
[/mm]
= aX
= [mm] aXE_{n}
[/mm]
= [mm] XaE_{n}
[/mm]
= XA.
Wie zeige ich aber (1) => (2)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 So 24.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie zeige ich aber (1) => (2)?
Es gibt die Matrizen, die überall null sind, außer an der Stell (i,j). Nehmen wir erstmal Matrizen mit [m](i,i)=1[/m]. Von Links multipliziert ergibt das die i-te Zeile von A in der i-ten Zeile, sonst Nuller, von rechts die i-te Spalte in der i-ten Spalte, sonst Nuller - also sind nur noch die Diagonalelemente ungleich null (warum? Bitte ausführen.). Jetzt nimmt man andere (i,j) um die Gleicheit der Diagonalelemente zu zeigen - was passiert denn allgemein für ein Paar (i,j) von links oder von rechts?
SEcki
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