Äquivalenz pos. Definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seinen S,W Matrizen in [mm] Mat_{n\times n}(\IR). [/mm] S sei symmetrisch und W sei regulär. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:
(a) S ist positiv definit
(b) [mm] WSW^T [/mm] ist positiv definit. |
Hey!
Ich komme bei der o.g. Aufgabe nicht wirklich weiter. Da ich eine Äquivalenz zeigen muss, muss ich ja sowohl die [mm] \Rightarrow-Richtung [/mm] als auch die [mm] \Leftarrow-Richtung [/mm] zeigen.
Außerdem weiß ich, dass eine Matrix positiv definit ist, falls [mm] xAx^T [/mm] > 0 gilt. Also kann ich ja so anfangen:
S ist positiv definit [mm] \Rightarrow xSx^T [/mm] > 0 für alle [mm] x\in\IR^n \Rightarrow [/mm] ... jetzt weiß ich schon nicht weiter. Im Endeffekt muss ich ja auf [mm] xWSW^Tx^T [/mm] > 0 kommen.
Ich glaube ich muss auch noch irgendwie einbauen, dass S symmetrisch ist. (Symmetrische Matrizen sind ja immer diagonalisierbar.) Aber wie??
Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Danke Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seinen S,W Matrizen in [mm]Mat_{n\times n}(\IR).[/mm] S sei
> symmetrisch und W sei regulär. Zeigen Sie die Äquivalenz
> der folgenden beiden Aussagen:
>
> (a) S ist positiv definit
> (b) [mm]WSW^T[/mm] ist positiv definit.
> Hey!
>
> Ich komme bei der o.g. Aufgabe nicht wirklich weiter. Da
> ich eine Äquivalenz zeigen muss, muss ich ja sowohl die
> [mm]\Rightarrow-Richtung[/mm] als auch die [mm]\Leftarrow-Richtung[/mm]
> zeigen.
>
> Außerdem weiß ich, dass eine Matrix positiv definit ist,
> falls [mm]xAx^T[/mm] > 0 gilt. Also kann ich ja so anfangen:
> S ist positiv definit [mm]\Rightarrow xSx^T[/mm] > 0 für alle
> [mm]x\in\IR^n \Rightarrow[/mm] ... jetzt weiß ich schon nicht
> weiter. Im Endeffekt muss ich ja auf [mm]xWSW^Tx^T[/mm] > 0 kommen.
>
> Ich glaube ich muss auch noch irgendwie einbauen, dass S
> symmetrisch ist. (Symmetrische Matrizen sind ja immer
> diagonalisierbar.) Aber wie??
[mm] $(\*)$ [/mm] Hier gilt ja [mm] $rSr^T [/mm] > 0$ für alle $r [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass für alle $x [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}$ [/mm] gilt:
$x [mm] WSW^Tx^T \ge [/mm] 0$ gilt.
Ich gebe Dir mal einen Wink mit dem Zaunpfahl:
Für $x$ setze [mm] $\black{r:=r(x):=x*W}$. [/mm] Dann ist [mm] $r^T=(x*W)^T=...$ ($\leftarrow$ ... bitte ergänzen!), damit gilt $r=r(x) \not=0$, weil ... ($\leftarrow$ ... bitte ergänzen!)
D.h.:
$r$ erfüllt also $(\*)$.
Zu zeigen hast Du nun:
$(xW)*S*(W^Tx^T) > 0$
Nun schreibst Du das um (und ergänzt meine ...):
$(xW)*S*(W^Tx^T)=r*S*... > ...$ wegen ...
Fertig.
[s]P.S.:
Bei der anderen Beweisrichtung solltest Du die vorausgesetzte Regularität von $W$ nicht außer Acht lassen![/s]
P.P.S.:
Sorry, ich musste noch ein wenig ergänzen. Ich hatte nicht bedacht, dass bei positiv definit da ja $>$ steht, wenn $x \not=0$. Dann musst Du mit der Regularität von $W$ arbeiten, um zu sehen, dass $x \not=0$ $\Rightarrow$ $r=r(x)=x*W \not=0$, was Du ja oben brauchst. Daher kann es sein, dass Du die Regularität bei der anderen Beweisrichtung doch nicht brauchst, hier brauchst Du sie aber.
Zudem:
Mit $0$ bezeichne ich hier auch die $0 \in \IR^n$, da sich aus dem Zusammenhang ergibt, ob mit $0$ die $0 \in \IR$ oder die in $\IR^n$ gemeint ist.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Hi Marcel!
Danke erstmal für deine sehr ausführliche Antwort! Also dann will ich es mal versuchen
> Hallo,
>
> > Es seinen S,W Matrizen in [mm]Mat_{n\times n}(\IR).[/mm] S sei
> > symmetrisch und W sei regulär. Zeigen Sie die Äquivalenz
> > der folgenden beiden Aussagen:
> >
> > (a) S ist positiv definit
> > (b) [mm]WSW^T[/mm] ist positiv definit.
> > Hey!
> >
> > Ich komme bei der o.g. Aufgabe nicht wirklich weiter. Da
> > ich eine Äquivalenz zeigen muss, muss ich ja sowohl die
> > [mm]\Rightarrow-Richtung[/mm] als auch die [mm]\Leftarrow-Richtung[/mm]
> > zeigen.
> >
> > Außerdem weiß ich, dass eine Matrix positiv definit ist,
> > falls [mm]xAx^T[/mm] > 0 gilt. Also kann ich ja so anfangen:
> > S ist positiv definit [mm]\Rightarrow xSx^T[/mm] > 0 für alle
> > [mm]x\in\IR^n \Rightarrow[/mm] ... jetzt weiß ich schon nicht
> > weiter. Im Endeffekt muss ich ja auf [mm]xWSW^Tx^T[/mm] > 0 kommen.
> >
> > Ich glaube ich muss auch noch irgendwie einbauen, dass S
> > symmetrisch ist. (Symmetrische Matrizen sind ja immer
> > diagonalisierbar.) Aber wie??
>
> [mm](\*)[/mm] Hier gilt ja [mm]rSr^T > 0[/mm] für alle [mm]r \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm].
>
> Zu zeigen ist, dass für alle [mm]x \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]x WSW^Tx^T \ge 0[/mm] gilt.
>
> Ich gebe Dir mal einen Wink mit dem Zaunpfahl:
>
> Für [mm]x[/mm] setze [mm]\black{r:=r(x):=x*W}[/mm]. Dann ist [mm]r^T=(x*W)^T=...[/mm] [mm] \red{W^T*x^T}
[/mm]
So und hier in dem Teil soll ich also nun zeigen, dass aus der Regularität von W folgt, dass r(x)=xW [mm] \not= [/mm] 0 ist. Eine Matrix ist ja regulär, wenn sie vollen Rang hat und damit hat sie keine "Nullzeile" und da x auch ungleich 0 ist, kann somit auch das Produkt hier nicht 0 werden!?
> ([mm]\leftarrow[/mm] ... bitte ergänzen!), damit gilt [mm]r=r(x) \not=0[/mm],
> weil ... ([mm]\leftarrow[/mm] ... bitte ergänzen!)
>
> D.h.:
>
> [mm]r[/mm] erfüllt also [mm](\*)[/mm].
>
> Zu zeigen hast Du nun:
>
> [mm](xW)*S*(W^Tx^T) > 0[/mm]
>
> Nun schreibst Du das um (und ergänzt meine ...):
>
> [mm](xW)*S*(W^Tx^T)=r*S*... > ...[/mm] wegen ...
[mm] \red{(xW)*S*(W^Tx^T)=r*S*r^T > 0} [/mm] wegen [mm] (\*)
[/mm]
Reicht diese Zeile so schon?
>
> Fertig.
>
> P.S.:
> Bei der anderen Beweisrichtung solltest Du die
> vorausgesetzte Regularität von [mm]W[/mm] nicht außer Acht lassen!
>
> P.P.S.:
> Sorry, ich musste noch ein wenig ergänzen. Ich hatte nicht
> bedacht, dass bei positiv definit da ja [mm]>[/mm] steht, wenn [mm]x \not=0[/mm].
> Dann musst Du mit der Regularität von [mm]W[/mm] arbeiten, um zu
> sehen, dass [mm]x \not=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]r=r(x)=x*W \not=0[/mm], was Du
> ja oben brauchst. Daher kann es sein, dass Du die
> Regularität bei der anderen Beweisrichtung doch nicht
> brauchst, hier brauchst Du sie aber.
>
> Zudem:
> Mit [mm]0[/mm] bezeichne ich hier auch die [mm]0 \in \IR^n[/mm], da sich aus
> dem Zusammenhang ergibt, ob mit [mm]0[/mm] die [mm]0 \in \IR[/mm] oder die in
> [mm]\IR^n[/mm] gemeint ist.
>
So kann ich jetzt für die Rückrichtung genauso vorgehen? Also ich sage mal, wie ich es aufschreiben würde:
[mm](\blue{\*})[/mm] Es gilt ja [mm]xWSW^Tx^T > 0[/mm] für alle [mm]x \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm].
Für [mm]xW[/mm] setze [mm]\black{xW:=r(x):=r}[/mm]. Dann ist [mm] W^Tx^T [/mm] = [mm] (xW)^T [/mm] = [mm] r^T
[/mm]
[mm]xW[/mm] erfüllt also [mm](\blue{\*})[/mm].
Bleibt zu zeigen:
[mm]r*S*r^T > 0[/mm]
[mm] r*S*r^T=(xW)*S*(W^Tx^T) [/mm] > 0 wegen [mm] (\blue{\*})
[/mm]
> Gruß,
> Marcel
Ich hoffe du kannst mir da nochmal weiterhelfen. Danke, viele Grüße Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> Hi Marcel!
> Danke erstmal für deine sehr ausführliche Antwort! Also
> dann will ich es mal versuchen
>
> > Hallo,
> >
> > > Es seinen S,W Matrizen in [mm]Mat_{n\times n}(\IR).[/mm] S sei
> > > symmetrisch und W sei regulär. Zeigen Sie die Äquivalenz
> > > der folgenden beiden Aussagen:
> > >
> > > (a) S ist positiv definit
> > > (b) [mm]WSW^T[/mm] ist positiv definit.
> > > Hey!
> > >
> > > Ich komme bei der o.g. Aufgabe nicht wirklich weiter. Da
> > > ich eine Äquivalenz zeigen muss, muss ich ja sowohl die
> > > [mm]\Rightarrow-Richtung[/mm] als auch die [mm]\Leftarrow-Richtung[/mm]
> > > zeigen.
> > >
> > > Außerdem weiß ich, dass eine Matrix positiv definit ist,
> > > falls [mm]xAx^T[/mm] > 0 gilt. Also kann ich ja so anfangen:
> > > S ist positiv definit [mm]\Rightarrow xSx^T[/mm] > 0 für alle
> > > [mm]x\in\IR^n \Rightarrow[/mm] ... jetzt weiß ich schon nicht
> > > weiter. Im Endeffekt muss ich ja auf [mm]xWSW^Tx^T[/mm] > 0 kommen.
> > >
> > > Ich glaube ich muss auch noch irgendwie einbauen, dass S
> > > symmetrisch ist. (Symmetrische Matrizen sind ja immer
> > > diagonalisierbar.) Aber wie??
> >
> > [mm](\*)[/mm] Hier gilt ja [mm]rSr^T > 0[/mm] für alle [mm]r \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm].
>
> >
> > Zu zeigen ist, dass für alle [mm]x \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]x WSW^Tx^T \ge 0[/mm] gilt.
> >
> > Ich gebe Dir mal einen Wink mit dem Zaunpfahl:
> >
> > Für [mm]x[/mm] setze [mm]\black{r:=r(x):=x*W}[/mm]. Dann ist [mm]r^T=(x*W)^T=...[/mm]
> [mm]\red{W^T*x^T}[/mm]
>
> So und hier in dem Teil soll ich also nun zeigen, dass aus
> der Regularität von W folgt, dass r(x)=xW [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> Eine Matrix ist ja regulär, wenn sie vollen Rang hat und
> damit hat sie keine "Nullzeile" und da x auch ungleich 0
> ist, kann somit auch das Produkt hier nicht 0 werden!?
Bist Du sicher, dass Deine Argumentation reicht?
[mm] $A:=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 }$ [/mm] hat auch keine Nullzeile, $x:=(1,1)$ ist auch nicht der Nullvektor, aber [mm] $x*A=\vektor{0 \\ 0}^T$
[/mm]
Du denkst viel zu kompliziert:
Wäre $x*W=0$, so kannst Du einfach [mm] $W^{-1}$ [/mm] rechts ranmultiplizieren...
> > ([mm]\leftarrow[/mm] ... bitte ergänzen!), damit gilt [mm]r=r(x) \not=0[/mm],
> > weil ... ([mm]\leftarrow[/mm] ... bitte ergänzen!)
> >
> > D.h.:
> >
> > [mm]r[/mm] erfüllt also [mm](\*)[/mm].
> >
> > Zu zeigen hast Du nun:
> >
> > [mm](xW)*S*(W^Tx^T) > 0[/mm]
> >
> > Nun schreibst Du das um (und ergänzt meine ...):
> >
> > [mm](xW)*S*(W^Tx^T)=r*S*... > ...[/mm] wegen ...
>
> [mm]\red{(xW)*S*(W^Tx^T)=r*S*r^T > 0}[/mm] wegen [mm](\*)[/mm]
>
> Reicht diese Zeile so schon?
Ja!
> >
> > Fertig.
> >
> > P.S.:
> > Bei der anderen Beweisrichtung solltest Du die
> > vorausgesetzte Regularität von [mm]W[/mm] nicht außer Acht
> lassen!
> >
> > P.P.S.:
> > Sorry, ich musste noch ein wenig ergänzen. Ich hatte
> nicht
> > bedacht, dass bei positiv definit da ja [mm]>[/mm] steht, wenn [mm]x \not=0[/mm].
> > Dann musst Du mit der Regularität von [mm]W[/mm] arbeiten, um zu
> > sehen, dass [mm]x \not=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]r=r(x)=x*W \not=0[/mm], was Du
> > ja oben brauchst. Daher kann es sein, dass Du die
> > Regularität bei der anderen Beweisrichtung doch nicht
> > brauchst, hier brauchst Du sie aber.
> >
> > Zudem:
> > Mit [mm]0[/mm] bezeichne ich hier auch die [mm]0 \in \IR^n[/mm], da sich
> aus
> > dem Zusammenhang ergibt, ob mit [mm]0[/mm] die [mm]0 \in \IR[/mm] oder die in
> > [mm]\IR^n[/mm] gemeint ist.
> >
> So kann ich jetzt für die Rückrichtung genauso vorgehen?
> Also ich sage mal, wie ich es aufschreiben würde:
>
> [mm](\blue{\*})[/mm] Es gilt ja [mm]xWSW^Tx^T > 0[/mm] für alle [mm]x \in \IR^n \setminus\{0\}[/mm].
>
> Für [mm]xW[/mm] setze [mm]\black{xW:=r(x):=r}[/mm]
Da musst Du mal genau hingucken. Es gilt hier:
Für alle $r [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}$ [/mm] ist
[mm] $r*WSW^T*r^T [/mm] > 0$
Wenn Du nun zeigen sollst:
Für alle $x [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}$ [/mm] ist
[mm] $x*S*x^T [/mm] > 0$
so brauchst Du doch, dass Du ein jedes $x [mm] \in \IR^n\setminus\{0\}$ [/mm] überhaupt schreiben kannst als
$x=r*W$
(M.a.W.: Wir brauchen: Ist $L: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] mit $L(x):=x*W$, so ist [mm] $\IR^n \setminus\{0\} \subset L^{-1}(\IR^n\setminus\{0\})$.)
[/mm]
D.h. Du musst zunächst begründen, dass es zu jedem $x [mm] \in \IR^n\setminus\{0\}$ [/mm] ein $r [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}$ [/mm] gibt, so dass $x=r*W$.
Und zu jedem $x [mm] \not=0$ [/mm] setzen wir dazu einfach [mm] $r=x*W^{-1}$. [/mm] Warum ist nun $r [mm] \not=0$? [/mm] Warum gilt nun $r*W=x$?
Also:
In dieser Beweisrichtung benötigen wir auch die Regularität von $W$.
P.S.:
Wenn Du mal genau hinguckst, folgt der ganze Beweis hier einfach aus der Tatsache:
$L: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] mit $L(x):=x*W$ ist bijektiv und $L(0)=0$, also insbesondere [mm] $L(\IR^n \setminus\{0\})=\IR^n \setminus\{0\}$
[/mm]
(Okay, man braucht auch noch eine Regel für die Transponierten [mm] $W^Tx^T=(x*W)^T$ [/mm] an einer Stelle...)
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel, nochmal vielen Dank für deine Erklärungen. Also ich denke so langsam blicke ich durch die ganze Sache durch. Danke dir dafür. Also ich fasse es nochmal zusammen, wie ich es jetzt beweisen würde. Vielleicht kannst du ja dann nochmal einen Blick drüber werfen.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
S ist positiv definit, also gilt [mm] (\red{\*}) $rSr^T [/mm] > 0$ für alle r [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}
[/mm]
Z.z. ist, dass für alle x [mm] \in \IR^n \setminus\{0\} [/mm] gilt: [mm] $xWSW^Tx^T [/mm] > 0 $
Setze dazu $r(x):=r:=xW$, dann ist [mm] $r^T=(xW)^T=W^Tx^T$
[/mm]
Damit gilt auch [mm] $r(x)\not=0$, [/mm] denn angenommen $r=0=xW$, dann ist auch [mm] $x*W*W^{-1} [/mm] = [mm] 0*W^{-1}$ \gdw [/mm] $x=0$ Widerspruch! [mm] (W^{-1} [/mm] ex. hier, da W regulär)
Somit folgt:
[mm] xWSW^Tx^T [/mm] = [mm] rSr^T [/mm] > 0 nach [mm] (\red{\*})
[/mm]
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] $WSW^T$ [/mm] ist positiv definit, also gilt [mm] (\green{\*}) $rWSW^Tr^T [/mm] > 0$ für alle r [mm] \in \IR^n \setminus\{0\}
[/mm]
Z.z. ist, dass für alle x [mm] \in \IR^n \setminus\{0\} [/mm] gilt: [mm] $xSx^T [/mm] > 0 $
Setze nun zu jedem [mm] $x\not=0$ $r:=x*W^{-1}$. [/mm] Damit ist auch [mm] $r\not=0$, [/mm] denn angenommen [mm] $r=0=x*W^{-1}$, [/mm] dann ist auch [mm] $x*W^{-1}*w=0*W$ \gdw [/mm] $x=0$ Widerspruch!
Multipliziere nun die Gleichung von rechts mit W, so ergibt sich $x=rW$, bzw. [mm] $x^T=(r*W)^T [/mm] = [mm] W^T*r^T$
[/mm]
Somit folgt:
[mm] xSx^T [/mm] = [mm] rWSW^Tr^T [/mm] > 0 nach [mm] (\green{\*})
[/mm]
qed
Ist das ok so?
Grüße Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> Hi Marcel, nochmal vielen Dank für deine Erklärungen. Also
> ich denke so langsam blicke ich durch die ganze Sache
> durch. Danke dir dafür. Also ich fasse es nochmal zusammen,
> wie ich es jetzt beweisen würde. Vielleicht kannst du ja
> dann nochmal einen Blick drüber werfen.
>
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
>
> S ist positiv definit, also gilt [mm](\red{\*})[/mm] [mm]rSr^T > 0[/mm] für
> alle r [mm]\in \IR^n \setminus\{0\}[/mm]
>
> Z.z. ist, dass für alle x [mm]\in \IR^n \setminus\{0\}[/mm] gilt:
> [mm]xWSW^Tx^T > 0[/mm]
>
>
> Setze dazu [mm]r(x):=r:=xW[/mm], dann ist [mm]r^T=(xW)^T=W^Tx^T[/mm]
> Damit gilt auch [mm]r(x)\not=0[/mm], denn angenommen [mm]r=0=xW[/mm], dann
> ist auch [mm]x*W*W^{-1} = 0*W^{-1}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x=0[/mm] Widerspruch!
Das ist korrekt, aber uns reicht's vollkommen, wenn wir am Ende anstatt [mm] $\gdw$ [/mm] nur ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] schreiben, um zum Widerspruch zu gelangen. Ist hier aber eher Geschmackssache (dass die Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] dort auch gilt, ist eine Banalität).
> [mm](W^{-1}[/mm] ex. hier, da W regulär)
>
> Somit folgt:
>
> [mm]xWSW^Tx^T[/mm] = [mm]rSr^T[/mm] > 0 nach [mm](\red{\*})[/mm]
>
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> [mm]WSW^T[/mm] ist positiv definit, also gilt [mm](\green{\*})[/mm]
> [mm]rWSW^Tr^T > 0[/mm] für alle r [mm]\in \IR^n \setminus\{0\}[/mm]
>
> Z.z. ist, dass für alle x [mm]\in \IR^n \setminus\{0\}[/mm] gilt:
> [mm]xSx^T > 0[/mm]
>
> Setze nun zu jedem [mm]x\not=0[/mm] [mm]r:=x*W^{-1}[/mm]. Damit ist auch
> [mm]r\not=0[/mm], denn angenommen [mm]r=0=x*W^{-1}[/mm], dann ist auch
> [mm]x*W^{-1}*\red{w}=0*W[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x=0[/mm] Widerspruch!
Das kleine $w$ ist ein großes, also $W$, aber das ist hier eh nur ein Tippfehler 
> Multipliziere nun die Gleichung von rechts mit W, so ergibt
> sich [mm]x=rW[/mm], bzw. [mm]x^T=(r*W)^T = W^T*r^T[/mm]
>
> Somit folgt:
>
> [mm]xSx^T[/mm] = [mm]rWSW^Tr^T[/mm] > 0 nach [mm](\green{\*})[/mm]
>
> qed
>
>
> Ist das ok so?
Ja, ich sehe da keine Einwände
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Di 15.04.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Vielen Dank Marcel für deine Hilfe!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Schönen Abend noch, gruß Patrick.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Wie gesagt:
Kein Problem, gern geschehen
Gruß,
Marcel
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