Äquivalenz mehrer Aussagen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 31.10.2010 | | Autor: | pancakes |
| Aufgabe | Zeigen Sie fuer zwei beliebige Mengen A und B die Aquivalenz
folgender Aussagen:
1) A [mm] \subseteq [/mm] B
2) A [mm] \cap [/mm] B = A
3) A [mm] \cup [/mm] B = B
4) [mm] A\setminusB [/mm] = leere Menge
5) [mm] B\setminus(B\setminusA) [/mm] = A
6) Für jede Menge C ist A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) = (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] B.
7) Es gibt eine Menge C mit A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) = (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] B. |
Ich habe damit schon angefangen (mit Ringschluß) und bis bis Nr. 5 gekommen.
Ich habe das so gelöst:
1) => 2)
Wenn A c B
Es existiert ein x für das gilt: x aus B und x NICHT aus A
Es existiert kein x für das gilt: x aus A und x nicht aus B
Also A n B = A.
2) => 3)
Wenn AnB=A,
dann A c B, also B > A, aso
Es existiert ein x für das gilt: x aus B und x nicht aus A
also A U B = B
3) => 4)
Wenn AUB = B dann
für alle x gilt: x aus A dann x aus B
Aber es existiert ein x für dass gilt x aus B und x nicht aus A.
Also [mm] A\B [/mm] = leere Menge.
..jetzt komme ich leider nicht weiter.
Ich verstehe logisch, warum aus 4) dann 5) folgt, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.
Also erstmal: ist es in Ordnung, wie ich es bisher gemacht habe?
und zweitens: kann mir jemand einen kleinen Denkanstoß zum weitermachen geben??
danke iim voraus,
pancakes
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
bei deinen Ausführungen kommt mir die Anekdote in den Sinn. "Warum ist 7*7 =49 ? Weil 50-1 = 49 ist."
Zwar stimmen beide Gleichungen, aber wie man von der einen auf die andere kommt bleibt doch ziemlich unklar.
> 1) => 2)
> Wenn A c B
> Es existiert ein x für das gilt: x aus B und x NICHT aus
> A
Nein.
Deine Aussage steht für B [mm] \setminus [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Die Mengenbeziehung A [mm] \subseteq [/mm] B ist zu übersetzen mit "wenn ein Element x aus A ist, dann ist es auch aus B" oder "alle Elemente, die zu A gehören, gehören auch zu B".
> Es existiert kein x für das gilt: x aus A und x nicht aus
> B
Das hat mit der vorigen Aussage nichts zu tun
> Also A n B = A.
>
siehe Anekdote.
> 2) => 3)
> Wenn AnB=A,
> dann A c B,
damit hättest du ja schon 2) => 1) bewiesen.
> also B > A, aso
> Es existiert ein x für das gilt: x aus B und x nicht aus
> A
siehe oben.
> also A U B = B
>
Begründung fehlt.
> 3) => 4)
> Wenn AUB = B dann
> für alle x gilt: x aus A dann x aus B
das ist 1)
> Aber es existiert ein x für dass gilt x aus B und x nicht
> aus A.
Das hat mit der vorigen Aussage überhaupt nichts zu tun.
> Also [mm]A\B[/mm] = leere Menge.
>
Das folgt nicht.
Beachte Folgendes:
Um die Gleichheit A = B zweier Mengen zu beweisen, kannst du die beiden Teilaussagen A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A nachweisen.
A [mm] \subseteq [/mm] B zeigt man, indem man für ein beliebig angenommenes x [mm] \in [/mm] A nachweist, dass x [mm] \in [/mm] B gültig ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 02.11.2010 | | Autor: | pancakes |
> Beachte Folgendes:
> Um die Gleichheit A = B zweier Mengen zu beweisen,
> kannst du die beiden Teilaussagen A [mm]\subseteq[/mm] B und B
> [mm]\subseteq[/mm] A nachweisen.
> A [mm]\subseteq[/mm] B zeigt man, indem man für ein beliebig
> angenommenes x [mm]\in[/mm] A nachweist, dass x [mm]\in[/mm] B gültig
> ist.
>
Gut.. also ich habe mir hierauf hin nochmal alles angesehen.. also:
Vorraussetzung: A [mm] \subseteq [/mm] B
Ich will zeigen: A [mm] \cap [/mm] B = A
d.h.:
1. A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
2. A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
Beweis:
1. Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
Dann ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B (Definition Durchschnitt)
==> A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
2. Sei x [mm] \in [/mm] A
Da A [mm] \subseteq [/mm] B ist x auch [mm] \in [/mm] B
Also ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B.
Also ist x erst Recht [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
==> A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
Damit ist bewiesen:
A [mm] \cap [/mm] B <==> A [mm] \cap [/mm] B = A
Wäre das jetzt soweit Richtig??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 02.11.2010 | | Autor: | pancakes |
Okay.. erstmal vielen Dank!
Ich wollte jetzt weitermachen, aber es geht nicht so schön, wie ich dachte. Es harkt immernoch...
Also soweit bin ich:
Beh.: A [mm] \cap [/mm] B = A => A [mm] \cup [/mm] B = B
Vor.: A [mm] \cap [/mm] B = A
Zz: A [mm] \cup [/mm] B = B
d.h.:
1. B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
2. A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
1. x aus B, dann ist x auch aus A [mm] \cup [/mm] B.
=> B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
2. x aus A [mm] \cup [/mm] B,
dann ist x aus A oder aus B.
Wenn x aus B => A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
Wenn x aus A... hier komme ich nicht weiter. Wenn x aus A ist, muss A [mm] \subseteq [/mm] B sein, damit es funktioniert. Aber man nimmt ja irgendein x.. oder darf ich mich da auf (1) beziehen? Und wenn ja, wie schreibe ich das dann auf?
Also wäre B [mm] \subseteq [/mm] A ginge es ja nicht.
... Ich hoffe, ich hab wenigstens erklären können, was mein Problem ist...
lg pancakes
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Hallo nochmal,
> Okay.. erstmal vielen Dank!
>
> Ich wollte jetzt weitermachen, aber es geht nicht so
> schön, wie ich dachte. Es harkt immernoch...
> Also soweit bin ich:
>
> Beh.: A [mm]\cap[/mm] B = A => A [mm]\cup[/mm] B = B
> Vor.: A [mm]\cap[/mm] B = A
> Zz: A [mm]\cup[/mm] B = B
> d.h.:
> 1. B [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> 2. A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] B
>
> 1. x aus B, dann ist x auch aus A [mm]\cup[/mm] B.
> => B [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cup[/mm] B ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. x aus A [mm]\cup[/mm] B,
> dann ist x aus A oder aus B.
> Wenn x aus B => A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] B
> Wenn x aus A... hier komme ich nicht weiter. Wenn x aus A
> ist, muss A [mm]\subseteq[/mm] B sein, damit es funktioniert. Aber
> man nimmt ja irgendein x.. oder darf ich mich da auf (1)
> beziehen? Und wenn ja, wie schreibe ich das dann auf?
> Also wäre B [mm]\subseteq[/mm] A ginge es ja nicht.
Es ist doch nach Vor. [mm]A\cap B=A[/mm]. Wenn also [mm]x\in A=A\cap B[/mm] ist, ist [mm]x\in A\wedge x\in B[/mm]
Also folgt in beiden Fällen ([mm]x\in B[/mm] bzw. [mm]x\in A[/mm]), dass [mm]x\in B[/mm] ist.
> ... Ich hoffe, ich hab wenigstens erklären können, was
> mein Problem ist...
>
> lg pancakes
>
>
Gruß
schachuzipus
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