Äquivalenz in bel. Körper < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich bereite mich auf meine Basisprüfungen vor und gehe momentan die Theorie der linearen Algebra durch. Bisher ging alles mehr oder weniger gut, jedoch bin ich jetzt an einem Punkt, an dem ich etwas nicht verstehe.
Nun, die Hauptachsentransformation für den Körper K = [mm] \IR [/mm] folgert so einiges über die positive Definitheit von Bilinearformen.
Wenn jetzt eine Bilinearform im [mm] \IR^{n} [/mm] gegeben ist, existiert eine Zerlegung in orthogonalen Untervektorräumen bezüglich der Bilinearform und dem kanonischen Skalarprodukt. Aus dieser Zerlegung folgert man den Trägheitssatz von Sylvester und somit die Signatur der Bilinearform.
Jetzt wären wir bei meinem Problem
Die Signatur charakterisiert ja eine symmetrische Bilinearform VxV [mm] \to \IR
[/mm]
Im Fall K [mm] =\IC [/mm] findet man eine charakterisierung durch den Rang.
Durch diese Angaben kann man sehen, ob zwei Bilinearformen äquivalent sind und auf Matritzen übertragen, ob es für A,A' [mm] \in [/mm] M(nxn,K) (K = [mm] \IR [/mm] od. [mm] \IC) [/mm] ein S [mm] \in [/mm] GL(n;K) gibt mit [mm] S^{t}AS [/mm] = A'.
So weit richtig?
Jetzt, für beliebige Körper... Da ist die Rede von der Diskriminanten als die Invarianten der Bilinearform. Und da fangen die Schwierigkeiten an. Dann muss man zwischen ausgearteten und nicht ausgearteten Bilinarformen unterscheiden usw.. Aber so weit komme ich gar nicht.
Ich finde in meinen Unterlagen keine "Definition" der Diskriminanten. Ich habe einfach keine Ahnung, was ich mir darunter vorzustellen habe geschweige wie diese auszurechnen ist. (Auf Bilinearformen übertragen..)
Hätte jemand die Geduld, mir dieses zu erläutern? Wäre sehr dankbar :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nun, da meine Frage zwar oft angeschaut wurde, jedoch noch keine Antwort geschrieben wurde denke ich, dass meine Frage entweder falsch gestellt wurde oder aber, dass meine Erkentnisse falsch sind und somit niemand weiss, etwas damit anzufangen :)
Ich stelle nun eine allgemeinere Frage, auf welche aber eine Antwort genau das erklären würde, was ich zu verstehen versuche.
Es sei eine Biliearform s: VxV [mm] \to [/mm] K gegeben. Diese Biliearform ist abhängig von K charakterisiert durch:
- K = [mm] \IR: [/mm] Bilinearform charakterisiert durch die Signatur (Sylvester Trägheitssatz)
- K = [mm] \IC: [/mm] Bilinearform charakterisiert durch den Rang
- K [mm] \not= \IR, [/mm] K [mm] \not= \IC: [/mm] Bilinearform charakterisiert durch ???
Ich würde mich über eine Antwort freuen und, falls noch immer etwas nicht klar sein sollte oder meine Frage nicht beantwortet werden kann, über eine Rückmeldung :)
Danke und liebe Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nun, ich denke, wenn niemand etwas darüber weiss bzw. das Wissen nicht mehr vorhanden ist, dann wird es nicht so wichtig sein :) Ich denke, an der Prüfung werden nur reelle oder komplexe Vektorräume in diesem Zusammenhang vorkommen, es hätte mich nur interessiert.
Trotzdem danke.
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Sa 18.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
> Nun, ich denke, wenn niemand etwas darüber weiss bzw. das
> Wissen nicht mehr vorhanden ist, dann wird es nicht so
> wichtig sein :) Ich denke, an der Prüfung werden nur
> reelle oder komplexe Vektorräume in diesem Zusammenhang
> vorkommen, es hätte mich nur interessiert.
eine allgemeine Klassifikation ist mir nicht bekannt. Ich vermute, man muss schon spezielle Annahmen zum Koerper machen (wie z.B. $K = [mm] \IR$ [/mm] oder $K = [mm] \IC$). [/mm] Schau mal z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier den unteren Teil an.
Normalerweise macht man das ganze (insbesondere in den Grundvorlesungen zur linearen Algebra) nur fuer [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$, [/mm] es reicht also wenn du dich da auskennst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Erstens, danke für den Link. Es war sehr nütlich und handelte exakt davon, was ich wissen wollte. :)
Jetzt aber ist hier ein Zitat: (Q ist die Bilinearform)
"Also, detA can change by [mm] (detC)^{2}detA. [/mm] The coset of detA in K*/K*^{2} is a well-defined invariant of Q, called the discriminant. For real forms, it is either 1 or -1. For [mm] \IQ, [/mm] the discriminant can be any rational number a/b where a and b are squarefree. A symmetric bilinear form on a finite field is determined by its rank and its discriminant."
Gut. Die Diskriminante der Bilinearform (Unabhängig vom Körper) ist eine Invariante, die die Bilinearform charakterisiert (dim V < [mm] \infty, [/mm] V Vektorraum).
Im Fall K = [mm] \IQ [/mm] ist die Invariante eine beliebige rationale Zahl.
Jetzt... wie berechnet man diese Diskriminante? Inwiefern charakterisiert sie die Bilinearform?
In meinen Unterlagen ist auch die rede von K*/K*^{2}, es wird nur nicht weiter darauf eingegangen. Was ist das? :)
Danke für die Mühen und viele Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Sa 18.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Jetzt aber ist hier ein Zitat: (Q ist die Bilinearform)
>
> "Also, detA can change by [mm](detC)^{2}detA.[/mm] The coset of detA
> in K*/K*^{2} is a well-defined invariant of Q, called the
> discriminant. For real forms, it is either 1 or -1. For
> [mm]\IQ,[/mm] the discriminant can be any rational number a/b where
> a and b are squarefree. A symmetric bilinear form on a
> finite field is determined by its rank and its
> discriminant."
>
> Gut. Die Diskriminante der Bilinearform (Unabhängig vom
> Körper) ist eine Invariante, die die Bilinearform
> charakterisiert (dim V < [mm]\infty,[/mm] V Vektorraum).
Zumindest bei endlichen Koerpern. Bei allgemeinen Koerpern ist das nicht ausreichend.
> Im Fall K = [mm]\IQ[/mm] ist die Invariante eine beliebige
> rationale Zahl.
Nein, die Diskriminante ist dort eine beliebige quadratfreie Zahl. Ein wichtiger Unterschied!
> Jetzt... wie berechnet man diese Diskriminante?
Das steht da: du berechnest die Determinante einer darstellenden Matrix, und betrachtest die Nebenklasse [mm] $(\det [/mm] A) [mm] (K^\ast)^2$ [/mm] in [mm] $K^\ast [/mm] / [mm] (K^\ast)^2$.
[/mm]
Allerdings: dies gilt wohl nur, wenn der Rang von $A$ $n$ ist; wenn er kleiner ist, muss man vermutlich die Bilinearform auf $V / N$ betrachten, wobei $N = [mm] \{ v \in V \mid \phi(v, v) = 0 \}$ [/mm] ist. Auf $V / N$ ergibt sich eine wohldefinierte und nicht-degenerierte Bilinearform, von der man irgend eine Darstellungsmatrix nimmt und deren Determinante dann.
Alternativ kann man auch eine Basis von $N$ zu einer Basis von $V$ fortsetzen, und die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis anschauen: die ist dann von der Form $A = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & A' }$, [/mm] wobei $A'$ vollen Rang hat. Dann nimmst du halt [mm] $\det [/mm] A'$.
> Inwiefern charakterisiert sie die Bilinearform?
Zwei Bilinearformen sind genau dann durch einen Basiswechsel zu erreichen (zumindest ueber einem endlichen Koerper), wenn die Diskriminante und der Rang uebereinstimmen.
> In meinen Unterlagen ist auch die rede von K*/K*^{2}, es
> wird nur nicht weiter darauf eingegangen. Was ist das? :)
Das ist die Faktorgruppe von [mm] $K^\ast$ [/mm] (Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ von $K$) modulo der Untergruppe [mm] $(K^\ast)^2$, [/mm] die Menge der Quadrate in [mm] $K^\ast$ [/mm] (also [mm] $(K^\ast)^2 [/mm] = [mm] \{ x^2 \mid x \in K^\ast \}$).
[/mm]
In den reellen Zahlen gibt es bspw. genau zwei Nebenklassen, und zwar [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $-\IR^2$, [/mm] repraesentiert durch +1 und -1.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Das ist so ziemlich die Antwort, die ich zu bekommen hoffte.
Selbst wenn ich nicht alles ganz verstehe, hat es meine Neugier trotzdem gestillt. Danke also nochmals für deine Zeit. :)
Grüsse, Amaro
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