Äquivalenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 16.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | | (a) Sei [mm] k\ge1 [/mm] eine natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] stets die Ungleichung [mm] k\le k^n [/mm] gilt, und dass darüber hinaus für alle natürlichen [mm] n\ge1 [/mm] die Äquivalenz [mm] k=k^n \gdw [/mm] k=1 gültig ist. |
Hey,
[mm] k\le k^n [/mm]
[mm] k\le k*k^{n-1}
[/mm]
Daraus folgt das die Ungleichung gilt. (Habs zusätzlich noch mit vollständiger Induktion bewiesen.)
Wie zeig ich nun die Äquivalenz und was hat das mit dem ersten Teil der Aufgabe zu tun?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (a) Sei [mm]k\ge1[/mm] eine natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass
> für alle natürlichen Zahlen [mm]n\ge1[/mm] stets die Ungleichung
> [mm]k\le k^n[/mm] gilt, und dass darüber hinaus für alle
> natürlichen [mm]n\ge1[/mm] die Äquivalenz [mm]k=k^n \gdw[/mm] k=1 gültig
> ist.
>
> [mm]k\le k^n[/mm]
> [mm]k\le k*k^{n-1}[/mm]
>
> Daraus folgt das die Ungleichung gilt. (Habs zusätzlich
> noch mit vollständiger Induktion bewiesen.)
So solltest du das aber ganz bestimmt nicht aufschreiben, das sind naemlich zwei unzusammenhaengende Formeln. Ein Beweis ist das nicht.
> Wie zeig ich nun die Äquivalenz und was hat das mit dem
> ersten Teil der Aufgabe zu tun?
Die Aeqiuvalenz zeigst du gar nicht, da sie schlichtweg falsch ist. Ist $n = 1$, so gilt immer $k = [mm] k^n$. [/mm] Und $n = 1$ ist nach Voraussetzung zugelassen.
Soll da evtl. "... fuer alle natuerlichen $n > 1$ die Aeqiuvalenz $k = [mm] k^n \gdw [/mm] k = 1$ gueltig ist" stehen?
Zeige dazu, dass aus $n > 1$ folgt [mm] $k^n [/mm] > k$. Kannst fast genauso tun wie beim Beweis zu [mm] $k^n \ge [/mm] k$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 17.12.2009 | | Autor: | da_kiwi |
Hey
> Soll da evtl. "... fuer alle natuerlichen [mm]n > 1[/mm] die
> Aeqiuvalenz [mm]k = k^n \gdw k = 1[/mm] gueltig ist" stehen?
Ja, denke ich auch.
> Zeige dazu, dass aus [mm]n > 1[/mm] folgt [mm]k^n > k[/mm]. Kannst fast
> genauso tun wie beim Beweis zu [mm]k^n \ge k[/mm].
>
> LG Felix
Also aus n>1 => [mm] k^n>k [/mm] (in dem man einfach die erste Ungleichung mit k multipliziert)
Muss man nicht dazu die Richtungen [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow" [/mm] zeigen? Bei deinem Vorschlag ist mir nicht klar, wieso die Gleicheit von k = [mm] k^n \gdw [/mm] k = 1 gelten sollte...
lg da_kiwi
|
|
|
| |
|
Guten Abend,
> Hey
>
> > Soll da evtl. "... fuer alle natuerlichen [mm]n > 1[/mm] die
> > Aeqiuvalenz [mm]k = k^n \gdw k = 1[/mm] gueltig ist" stehen?
>
> Ja, denke ich auch.
>
> > Zeige dazu, dass aus [mm]n > 1[/mm] folgt [mm]k^n > k[/mm]. Kannst fast
> > genauso tun wie beim Beweis zu [mm]k^n \ge k[/mm].
> >
> > LG Felix
>
> Also aus n>1 => [mm]k^n>k[/mm] (in dem man einfach die erste
> Ungleichung mit k multipliziert)
>
> Muss man nicht dazu die Richtungen [mm]"\Rightarrow"[/mm] und
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] zeigen? Bei deinem Vorschlag ist mir nicht
> klar, wieso die Gleicheit von k = [mm]k^n \gdw[/mm] k = 1 gelten
> sollte...
>
k ist aus [mm] $\IN$, [/mm] und damit bedeutet $k [mm] \not= [/mm] 1$ einfach $k<1$ (was sollte es denn sonst sein?) Es ist also eine Art Kontraposition. Du zeigst also aus [mm] $k\not= [/mm] 1$ folgt $k< [mm] k^n$ [/mm] (das ist wegen der ersten Aussage äquivalent zu [mm] $k\not= k^n$).
[/mm]
Zur Frage mit den beiden Richtungen. Die eine Richtung von rechts nach links ist recht trivial (und ich verwende dieses Wort eig sehr selten). Von links nach rechts kannst du auch einfach die Gleichung [mm] $k=k^n$ [/mm] mit [mm] $k^{-1}$ [/mm] multiplizieren und umstellen, dabei aber beachten, dass $-1 [mm] \notin \IN$. [/mm] Dann musst du aber denke ich noch soetwas wie eine Fallunterscheidung machen, daher find ich die idee mit der Kontraposition gar nicht mal so schlecht^^
> lg da_kiwi
lg Kai
|
|
|
|
