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Hallo ihr! Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Zeige daß die folgenden Bedingungen äquivalent sind.
(i) f ist injektiv
(ii) Für jede Teilmenge M [mm] \subset [/mm] A gilt
[mm] f^{-1} [/mm] (f(M))=M
(iii) Für jedes Paar von Teilmengen M,N [mm] \subset [/mm] A gilt
f (M [mm] \cap [/mm] N) = f(M) [mm] \cap [/mm] f(N)
(iv) Für alle disjunkten Paare M,N [mm] \subset [/mm] A gilt
f(M) [mm] \cap [/mm] f(N) = [mm] \emptyset
[/mm]
(v) Für alle Paare M [mm] \subset [/mm] N [mm] \subset [/mm] A gilt
f [mm] (N\M) [/mm] = f(N) \ f(M)
Zu Schritt (i) [mm] \to [/mm] (ii) habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] f^{-1} [/mm] (f(M))=M und M [mm] \subset [/mm] A
[mm] \gdw f^{-1} [/mm] (f(A))=A und da f(A) =B
[mm] \gdw f^{-1} [/mm] (B)=A was ja gleichbedeutend zu
[mm] \gdw f^{-1} [/mm] B [mm] \to [/mm] A ist.
Das wäre ja die Umkehrabbildung zu unserrem f und somit muß diese ja bijektiv sein was daraus folgen läst das sie injektiv und surjektiv.
Ist meine jetzige Aufstellung richtig?
Wie kann ich denn Schritt (ii) [mm] \to [/mm] (iii) folgern?
Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könnt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Do 28.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Sei f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Zeige daß die folgenden
> Bedingungen äquivalent sind.
>
> (i) f ist injektiv
> (ii) Für jede Teilmenge M [mm]\subset[/mm] A gilt
> [mm]f^{-1}[/mm] (f(M))=M
> (iii) Für jedes Paar von Teilmengen M,N [mm]\subset[/mm] A gilt
> f (M [mm]\cap[/mm] N) = f(M) [mm]\cap[/mm] f(N)
> (iv) Für alle disjunkten Paare M,N [mm]\subset[/mm] A gilt
> f(M) [mm]\cap[/mm] f(N) = [mm]\emptyset[/mm]
> (v) Für alle Paare M [mm]\subset[/mm] N [mm]\subset[/mm] A gilt
> f [mm](N\M)[/mm] = f(N) \ f(M)
> Zu Schritt (i) [mm]\to[/mm] (ii) habe ich mir folgendes überlegt:
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (f(M))=M und M [mm]\subset[/mm] A
>
> [mm]\gdw f^{-1}[/mm] (f(A))=A und da f(A) =B
>
> [mm]\gdw f^{-1}[/mm] (B)=A was ja gleichbedeutend zu
>
> [mm]\gdw f^{-1}[/mm] B [mm]\to[/mm] A ist.
>
> Das wäre ja die Umkehrabbildung zu unserrem f und somit muß
> diese ja bijektiv sein was daraus folgen läst das sie
> injektiv und surjektiv.
Das darfst du so leider nicht schreiben. Dein erster Schritt ist keine Äquivalenz, höchstens eine Folgerung. Außerdem weißt du eben nicht, dass $f(A)=B$, denn über die Surjektivität hast du keine Aussage! Du mußt aber genau aufpassen, was du machen darfst und dir das vorher klarmachen. Was sollst du zeigen?
z.B. (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)
Du kennst nur die Injektivität, also aus $f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y$. Dies darfst du nutzen, um (ii) zu zeigen.
Wie zeigt man Mengengleichkeiten generell am besten? Indem du zwei Inklusionen zeigst:
1) [mm] $f^{-1}(f(M)) \subset [/mm] M$ und
2) $M [mm] \subset f^{-1}(f(M))$
[/mm]
Meine Idee wäre, einen Widerspruchsbeweis zu versuchen. Ich habe es jetzt nicht probiert, aber würde hier so ansetzen.
Genauso kannst du auch bei den anderen Äquivalenzen vorgehen.
Hilft dir das etwas weiter?
Viele Grüße
Astrid
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Also die idee für i->ii muss vielleicht gar nicht sein, denn ii -> i ist sehr viel einfacher
Wenn [mm] f^{-1}(f(a))=a [/mm] für jedes Element von A gilt (denn elemente sind ja auch Teilmengen) dann muss für [mm] a_1\not=a_2 f(a_1)\not=f(a_2) [/mm] gelten, da sonst [mm] f^{-1} [/mm] einem Wert zwei verschiedene Bilder zuordnen würde und das geht bei einer Abbildung nicht.
so dann ist auch i ->iv recht einfach:
f injektiv und M,N [mm] \subset [/mm] A mit M [mm] \cap [/mm] N [mm] =\emptyset.
[/mm]
Annahme: Es gibt ein [mm] b\in [/mm] B mit [mm] b\in f(M)\cap [/mm] f(N) Dann ist [mm] f(m_i)=f(n_j)=b [/mm] und damit wegen der Injektivität [mm] m_i=n_j [/mm] Da das aber im Widerspruch zur Anname ist gilt die Behauptung.
Für die weiteren Beweise will ich vorallem den Tip geben das der Beweis nicht stur kreisförmig laufen muss, es muss nur jedes Element eingebunden sein.
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