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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 29.10.2006 | | Autor: | PetFea |
| Aufgabe | In diese Aufgabe sollte ich zeigen, dass die folgende Aussagen äquivalent sind:
sei M eine Menge
(a) M ist nicht endlich
(b) es gibt ein y [mm] \in [/mm] M und eineinjektive Abbildung f:M [mm] \to [/mm] M mit f(x) [mm] \not= [/mm] y [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösungsansatz: Hin- und Rückrichtungsbeweis
"=>"
M = [mm] \IN
[/mm]
M* [mm] \subset [/mm] M
M* = [mm] \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...\} [/mm]
= [mm] \{a_{i} | i \in \IN\}
[/mm]
[mm] f\begin{cases} a_{i}, & \mbox{für } m \in M* \\ m, & \mbox{für } m \in M \backslash M* \end{cases}
[/mm]
"<=": indirekt
Annahme: M endl. [mm] \Rightarrow [/mm] |M| = n [mm] \in \IN
[/mm]
x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) (da inj.)
|f(M)| [mm] \ge [/mm] n aber f(M) [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] |f(M)| = n
[mm] \Rightarrow [/mm] f(M) = M
[mm] \Rightarrow [/mm] WIEDERSPRUCH
... hää, ich hab' diesen Tipp nicht verstanden... Also bitte euch um Hilfe, damit ich das verstehen kann.
Tausend Dank für jede Antwort!
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Hallo,
schreib doch bitte mal, was Du bei der "Rückrichtung"/dem Tip nicht verstehst.
Eine Alternative wäre: aus Teil a) folgt Teil b) und
aus [mm] $\not [/mm] a) [mm] \folgt \not [/mm] b)$.
Hth
zahlenspieler
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