Äquiv.-Umformung: Ungleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] 1-\frac{1}{n}<2
[/mm]
Löse nach n auf. |
Hallo,
eine einfache Aufgabe, aber ich scheine hier ein Brett vor dem Kopf zu haben.
[mm] 1-\frac{1}{n}<2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{n-1}{n} [/mm] < 2
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n-1 < 2n
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n-2n < 1
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n [mm] \cdot [/mm] (1-2) < 1
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n [mm] \cdot [/mm] (-1) < 1
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n > -1
Das Ergebnis sollte freilich aber n < -1 sein! Jedoch sehe ich den Fehler in meinen Umformungen nicht. Wo ist er? Wenn ich die Ungleichung auf andere Weise löse, bekomme ich ja das richtige Ergebnis:
[mm] 1-\frac{1}{n}<2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow -\frac{1}{n} [/mm] < 1
[mm] \Leftrightarrow [/mm] -n > 1
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n < -1
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 24.06.2007 | | Autor: | Hurby |
hi
dein umformung ist vollkommen korrekt und deine lösung auch.
[mm] 1-\bruch{1}{n}<2 [/mm]
n ist wahrscheinlich als Natürliche Zahl voraus gesetzt und dem entsprechend immer größer 0 und daher ist n>-1 richtig.
n<-1 ginge nur wenn n negativ ist.
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Hallo Hurby,
vielen Dank für deine Antwort! Ich habe noch ein paar Rückfragen:
> n ist wahrscheinlich als Natürliche Zahl voraus gesetzt und
> dem entsprechend immer größer 0 und daher ist n>-1
> richtig.
Du hast Recht! Zwar ist n nicht als natürliche Zahl vorrausgesetzt aber es gilt n > 0. Wie sähe in diesem Fall die Lösungsmenge der Ungleichung aus? Etwa: [mm] \IL [/mm] = [mm] \IR^{>-1} \cap \IR^{>0} [/mm] = [mm] \IR^{>0} [/mm] ?
Grundlage dieser Ungleichung war die Fallunterscheidung bei der Betragsungleichung:
[mm] |1-\frac{1}{n}|<2
[/mm]
[mm] |1-\frac{1}{n}|=\begin{cases} 1-\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \ge 1 \\ -(1-\frac{1}{n}), & \mbox{für } n < 1 \end{cases}
[/mm]
Wäre für die Ungleichung aus Fall 1 die Lösungsmenge also [mm] \IL [/mm] = [mm] \IR^{\ge 1}?
[/mm]
> n<-1 ginge nur wenn n negativ ist.
Klar! Danke nochmals!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Du hast Recht! Zwar ist n nicht als natürliche Zahl
> vorrausgesetzt aber es gilt n > 0. Wie sähe in diesem Fall
> die Lösungsmenge der Ungleichung aus? Etwa: [mm]\IL[/mm] = [mm]\IR^{>-1} \cap \IR^{>0}[/mm]
> = [mm]\IR^{>0}[/mm] ?
Ja, genau.
> Grundlage dieser Ungleichung war die Fallunterscheidung bei
> der Betragsungleichung:
>
> [mm]|1-\frac{1}{n}|<2[/mm]
>
>
> [mm]|1-\frac{1}{n}|=\begin{cases} 1-\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \ge 1 \\ -(1-\frac{1}{n}), & \mbox{für } n < 1 \end{cases}[/mm]
Es ist sehr gut, dass du so weit denkst und eine Fallunterscheidung machst, weil etwas negativ sein könnte. In diesem Fall ist das aber zu weit geschossen. In deinem ersten Post bist du auf n>-1 durch Äquivalenzumformungen gekommen. Das bedeutet, dass es egal ist, ob du die ursprüngliche Ungleichung betrachtest, oder n>-1.
Außerdem sind [mm] |1-\frac{1}{n}|<2 [/mm] und [mm] 1-\frac{1}{n}<2 [/mm] NICHT das gleiche (n=0.1 ist für die erste keine Lsg, für die 2. schon).
> Wäre für die Ungleichung aus Fall 1 die Lösungsmenge also
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\IR^{\ge 1}?[/mm]
Nein, eben nicht. Die zwei Ungleichungen sind nicht äquivalent.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mo 25.06.2007 | | Autor: | maximinus |
Hallo,
vielen Dank dormant! Ich war schon dabei, einen Beitrag mit Rückfragen zu schreiben: aber als ich fertig damit war, hatte ich alles verstanden!
Viele Grüße
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