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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Sa 12.04.2008 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Es seien a, [mm] b\in \IR [/mm] mit a < b. Wir bezeichnen mit [mm] C^1[a; [/mm] b] den Raum der
stetig differenzierbaren Funktionen von [a; b] nach [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie:
Die Supremumsnorm [mm] ||.||_\infty [/mm] auf [mm] C^1[a; [/mm] b] und die Norm [mm] ||.||_{C1} [/mm] sind nicht äquivalent
wobei [mm] ||.||_{C1} [/mm] : [mm] C^1[a,b] [/mm] --> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f\mapsto sup_{x\in[a,b]}\{|f(x)|+|f'(x)|\} [/mm] |
hey leute
irgendwie bekomme ich imme raus, dass die äquivalent sind... also ich finde konstanten C,D>0 mit
[mm] C*||.||_\infty\le ||.||_{C1}\le D*||.||_\infty [/mm]
mit C als das minimum der fkt f' und D als maximum...
ist ein fehler in der aufgabe, was ich eher nicht glaube oder wie findet man den richtigen lösungsweg?
danke und gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Sa 12.04.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo AriR,
> hey leute
> irgendwie bekomme ich imme raus, dass die äquivalent
> sind... also ich finde konstanten C,D>0 mit
>
> [mm]C*||.||_\infty\le ||.||_{C1}\le D*||.||_\infty[/mm]
>
>
> mit C als das minimum der fkt f' und D als maximum...
Damit die Normen äquivalent sind, musst du C und D finden, so dass die Ungleichungen für alle Funktionen f [mm] \in C^1[a,b] [/mm] gleichzeitig erfüllt sind! (Natürlich findet man für jede Funktion ein Paar C,D, die die Ungleichung für diese Funktion erfüllt, da die Norm einer Funktion nur Zahlen in [mm] \IR [/mm] sind...)
> ist ein fehler in der aufgabe, was ich eher nicht glaube
> oder wie findet man den richtigen lösungsweg?
Angenommen, du hättest nun Kandidaten für C und D gefunden: Konstruiere eine Funktion, die die Ungleichung nicht erfüllt! Was folgt daraus?
Viele Grüsse,
Andreas
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