Änderung des Anfangsbestandes < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Teich bietet Platz für maximal 7000 Fische. In einem Modell soll angenommen werden, dass die Änderungsrate des Fischbestandes proportional zur Anzahl der noch Platz findenden Fische ist. Anfangs befinden sich 4000 im Teich. Nach einem Monat sind 4400 Fische vorhanden.
(Nach wie vielen Monaten sind 5000 Fische in dem Teich vorhanden ?)
Wie viele Fische müssten sich am Anfang im Teich befinden, damit bei unveränderten Wachstumsbedingungen erst nach fünf Monaten 5000 Fische vorhanden sind ? |
Die Funktion für den Bestand der Fische lautet (da beschränktes Wachstum):
[mm] B(t) = 7000 - 3000 * e^{-0,1431*t} [/mm]
Ich weiß auch dass nach 2,83 Monaten 5000 Fische (bei obiger Funktion) vorhanden sind.
Die Lösung schlägt folgenden Ansatz vor für die unterste Frage:
[mm]
B(t) = 7000 - c * e^{-0,1431 * t} [/mm]
[mm]B(5) = 5000[/mm]
[mm]7000 - c * e^{−0,1431 * 5} =5000 [/mm]
⇒[mm] c = - \bruch{5000-7000}{e^{-0,1431 * 5}} = 4090[/mm]
[mm]B(0) = 7000 - c = 2910[/mm]
Der Anfangsbestand muss 2910 Fische betragen.
Ich hätte jedoch mit dem Taschenrechner den "aktuellen" Wert der Funktion bei B(5) angeschaut. Dieser beträgt 5533,16.
Also um zum Ziel zu gelangen die 533,16 vom Anfangsbestand 4000 abziehen.
[mm]4000-533,16 \approx 3466,8[/mm]
Dann müsste man doch auch den Anfangsbestand (ca. 3467 Fische) haben, damit bei t=5 5000 später sind, oder nicht?
Wieso ist das so?
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 08.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ein Teich bietet Platz für maximal 7000 Fische. In einem
> Modell soll angenommen werden, dass die Änderungsrate des
> Fischbestandes proportional zur Anzahl der noch Platz
> findenden Fische ist. Anfangs befinden sich 4000 im Teich.
> Nach einem Monat sind 4400 Fische vorhanden.
> (Nach wie vielen Monaten sind 5000 Fische in dem Teich
> vorhanden ?)
> Wie viele Fische müssten sich am Anfang im Teich
> befinden, damit bei unveränderten Wachstumsbedingungen
> erst nach fünf Monaten 5000 Fische vorhanden sind ?
> Die Funktion für den Bestand der Fische lautet (da
> beschränktes Wachstum):
>
> [mm]B(t) = 7000 - 3000 * e^{-0,1431*t}[/mm]
>
> Ich weiß auch dass nach 2,83 Monaten 5000 Fische (bei
> obiger Funktion) vorhanden sind.
>
> Die Lösung schlägt folgenden Ansatz vor für die unterste
> Frage:
>
> [mm]
B(t) = 7000 - c * e^{-0,1431 * t}[/mm]
>
> [mm]B(5) = 5000[/mm]
>
> [mm]7000 - c * e^{−0,1431 * 5} =5000[/mm]
>
> ⇒[mm] c = - \bruch{5000-7000}{e^{-0,1431 * 5}} = 4090[/mm]
>
> [mm]B(0) = 7000 - c = 2910[/mm]
>
> Der Anfangsbestand muss 2910 Fische betragen.
>
>
> Ich hätte jedoch mit dem Taschenrechner den "aktuellen"
> Wert der Funktion bei B(5) angeschaut. Dieser beträgt
> 5533,16.
> Also um zum Ziel zu gelangen die 533,16 vom Anfangsbestand
> 4000 abziehen.
> [mm]4000-533,16 \approx 3466,8[/mm]
>
> Dann müsste man doch auch den Anfangsbestand (ca. 3467
> Fische) haben, damit bei t=5 5000 später sind, oder
> nicht?
Nein. Wie Du auf diese Idee kommst , ist mir schleierhaft.
FRED
> Wieso ist das so?
>
> Danke im Voraus.
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Dein Lösungsweg wäre nur richtig wenn die Wachstumsfuntkion linear ist. Da es sich aber hier um eine Exponentialfunktion handelt, geht das natürlich nicht.
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