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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Di 12.10.2010 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | geg: a) [mm] x^2+xy+y^2-x^2y'=0 [/mm] b)xy'=y(ln(y)-ln(x))
Mit y(x)=x*z(x) ist die DGL für z(x) herzuleiten und anschließend z(x) und damit y(x) zu berechnen. |
Hallo,
habe einige Fragen bezüglich dieser Aufgabe. Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank!
hier nun meine Ansätze:
zu a) durch Subst. z=y/x komme ich auf [mm] z'=\bruch{1}{x}(1+z^2) [/mm] -> TDV
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+z^2}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
nun hätte ich gesagt, dass
arctan(z)=ln|x|+C -> z = tan(ln|x|+C) -> y=x*tan(ln|x|+C)
die Lösung sagt mir allerdings y=x*tan(ln(-x))
Warum nun -x und warum kommt keine Integrationskonstante vor?
zu b)
nach Substitution komme ich auf [mm] z'=\bruch{1}{x}(z*ln(z)-z) [/mm] -> TDV
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{z*ln(z)-z}dz}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
hier habe ich leider keine Ahnung, wie ich das Integral der linken Seite lösen soll?
Bin sehr dankbar für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu a) Hast Du die Aufgabenstellung vollständig wiedergegeben ? Ich rate mal: nein !
Es war sicher noch eine Anfangsbedingung geǵeben, etwa y(-1)=0
Zu b) Substituiere u=ln(z)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 12.10.2010 | | Autor: | carl1990 |
Die Anfangsbedinung hab ich vergessen. Sie ist y(-e)=-e*tan(1) , sorry!
d.h. also
-e*tan1= -e*tan(ln|-e|+C)
1=ln|-e|+C=ln|e|+C -> C=0
aber ich komme immer noch nicht auf das -x des ln in der Lösung
... kann ja nur mit dem Betrag zusammenhängen!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
die Substitution z=y/x funktioniert nur, wenn Lösungen auf [mm] (-\infty,0) [/mm] oder auf (0, [mm] \infty) [/mm] gesucht sind.
Wegen der AB y(-e)=-e*tan(1) sind Lösungen auf [mm] (-\infty,0) [/mm] gesucht. (-e<0)
Auf [mm] (-\infty,0) [/mm] hat die Funktion 1/x die Stammfunktion ln(-x)
FRED
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