Ähnlichkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Do 20.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
mein Dozent verwirrt mich total naja habe probiert mir den Stoff dann selber´anzueignen aber bei mir scheint da noch nen kleiner Hacken zu sein. Vielleicht findet ihn ja jemand mal drüberschauen.
Sind folgende Matrizen ähnlich zueinander?
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
char Polynom von A,B (gleich) : [mm] -x^5 [/mm] + [mm] 11x^4 [/mm] - [mm] 48x^3 [/mm] + [mm] 104x^2 [/mm] - 112x + 48
Eigenwerte 2,2,2,2,3
So jetzt können wir uns ja schon denken, dass die gleich sein werden.
Aber wenn ich mich nicht irre muss noch folgende Formel gelten:
[mm] SAS^{-1}=B
[/mm]
Wobei S die Matrix aus den Eigenvektoren von A besteht soweit ist das richtig oder?
Eigenvektoren von A:
sind auf Anhieb sichtbar [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] zu 2 und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\1} [/mm] zu 3
Jetzt komme ich rechnerisch nichtmehr ganz weiter. Damit S invertierbar ist müssen ja die Vektoren linunabhängig sein. Also Fehlen mir 3 Vektoren. Woher bekomme ich die? Ich habe hier auf der Seite ne ganz ähnliche Frage gefunden. Wenn ich das nach diesem Schema rechne habe ich zuviele Freiheitsgrade oder ich habe das Schema falsch verstanden. [https://matheraum.de/read?i=34968].
Die Matrizen A und B liegen doch bereits als JNF vor oder?
Wer hilft mir ein bissl weiter hab doch schon ganz gut vorgelegt.
Bis denn
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Do 20.01.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zuerst mal is der EV der Matrix A zum Ew 3 (0,0,0,1,0) denn (0,0,0,0,1) ist ein weiterer EV zum EW 2.
so nu setz ich mal die 4.und 5. Komponente 0 und suche weiter also
[mm] \pmat{2&1&0\\0&2&1\\0&0&2} \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=2 \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] und merke es gibt keine EV ausser (1,0,0,0,0)
stimmt das folgt schon aus der JNF. dh wir brauch noch zwei Hauptvektoren, ö aber wie man die jetzt berechnet, da musst du mal in deinem Script suchen
Ich hoffe ich konnte trotzdem etwas helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 20.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
war schon ungefähr soweit.
> Also zuerst mal is der EV der Matrix A zum Ew 3
> (0,0,0,1,0) denn (0,0,0,0,1) ist ein weiterer EV zum EW 2.
Stimmt. hab die 1 Falsch gesetzt.
>
> so nu setz ich mal die 4.und 5. Komponente 0 und suche
> weiter also
> [mm]\pmat{2&1&0\\0&2&1\\0&0&2} \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=2 \vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
> und merke es gibt keine EV ausser (1,0,0,0,0)
> stimmt das folgt schon aus der JNF. dh wir brauch noch
> zwei Hauptvektoren, ö aber wie man die jetzt berechnet, da
> musst du mal in deinem Script suchen
>
> Ich hoffe ich konnte trotzdem etwas helfen
>
Mhh bei dem rot hervorgehobenem hast du jetzt aber auch nen Fehler gemacht (0,0,0,1) ist kein EV. Es gibt nur 2 Stück so gibt mir das auch nen Rechenprogramm raus.
Mhh ich habe kein Script. In dem Link den ich angeben habe wird irgendsowas gemacht aber ich komme nicht ganz dahinter.
Trotzdem Danke für die Mühe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Hexe |
Also ich seh nicht warum das kein Eigenvektor sein soll
[mm] \pmat{ 2&1&0&0&0 \\0&2&1&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&2} \vektor{0 \\ 0\\0\\0\\1}=\vektor{0\\0\\0\\0\\2} [/mm]
und damit ist das bei mir ein eigenvektor zum EW 2. Falls da ein Fehler ist kann ihn mir bitte jemand erklären, denn sorry aber mein Rechenprogramm sagt das auch hilft mir nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
> Also ich seh nicht warum das kein Eigenvektor sein soll
> [mm]\pmat{ 2&1&0&0&0 \\0&2&1&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&3&0\\0&0&0&0&2} \vektor{0 \\ 0\\0\\0\\1}=\vektor{0\\0\\0\\0\\2}[/mm]
>
> und damit ist das bei mir ein eigenvektor zum EW 2. Falls
> da ein Fehler ist kann ihn mir bitte jemand erklären, denn
> sorry aber mein Rechenprogramm sagt das auch hilft mir
> nicht weiter
*g* du hast recht
mhh vielleicht ist die Aufgabe auch einfach nur zu blöd gestellt gewesen. Naja jetzt bin ich jedenfalls schlauer.
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 22.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi ihr beiden,
wie Hexe schon schreibt sind bei der Matrix A der erste, vierte und fünfte Standardvektor eine Eigenvektor, aber das ist hier relativ unwichtig...
die Aufgabe ist (wahrscheinlich) deshalb gestellt, weil man die JNF manchmal in der Form von A manchmal in der von B hat - deshalb soll man zeigen, dass sie Ähnlich sind...
aber das ist hier recht simpel: sei A bzgl einer Basis $ [mm] C=(a_1 [/mm] , ... , [mm] a_5 [/mm] ) $ gegeben.
D.H: aus der dritten Spalte liest man ab: das Bild von [mm] a_3 [/mm] ist einmal das Bild von [mm] a_2 [/mm] plus zweimal [mm] a_3 [/mm] allle anderen Spalten analog
jetzt setze doch mal die neue Basis an als: $ [mm] C'=(a_3 ,a_2 ,a_1 ,a_4 [/mm] , [mm] a_5 [/mm] ) $
also nur vertauscht !
wie sieht dann die erste Spalte aus?
[mm] a_3 [/mm] wird auf zweimal sich selbst und einmal [mm] a_2 [/mm] abgebildet, d.h. man erhält gerade die erste Spalte von B ! (anderen Spalten analog)
so, wie sieht jetzt dein S aus?
wenn du dir die Formel $ [mm] S*A*S^{-1}=B [/mm] $ anschaust, erkennst du, dass S die Basis C in die von C' transformieren muss und weil es nur eine andere Reihenfolge ist, ist $ [mm] S=(e_3 [/mm] , [mm] e_2 [/mm] , [mm] e_1 [/mm] , [mm] e_4 [/mm] , [mm] e_5 )=\pmat{0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1} [/mm] $
wenn du es nicht schon weißt, warum S dann so aussehen musst, kannst du mal HIER schauen
viele Grüße
DaMenge
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