Ähnlichkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 20.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ich will zeigen, dass durch zwei ähnliche Matrizen A,B [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine Äquivalenzrelation definiert ist.
Ich würde mich freuen, wenn jemand nachfolgendes korregieren mag 
Reflexivität:
ZZ: [mm] \forall A\in \IR^{nxn}: \exists T\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] A = [mm] T^{-1}AT [/mm]
Sei T die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
A = [mm] T^{-1}AT [/mm]
Symmetrie:
ZZ: [mm] \forall A,B\in \IR^{nxn}: \exists S\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
=> [mm] \exists T\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] A = [mm] T^{-1}BT [/mm]
Seien S,T die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
B = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
<=> B = A
<=> A = B
<=> A = [mm] T^{-1}BT
[/mm]
Transitivität:
ZZ: [mm] \forall A,B,C\in \IR^{nxn}: \exists S\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] S^{-1}AS \wedge \exists T\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] A = [mm] T^{-1}CT [/mm]
=> [mm] \exists U\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] T^{-1}CT
[/mm]
Seien S,T,U die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
B = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
<=> B=A
<=> A=B
<=> A = [mm] T^{-1}CT
[/mm]
<=> B = [mm] T^{-1}CT
[/mm]
Liebe Grüße
Elefanti
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Hallo elefanti!
> Hallo,
>
> ich will zeigen, dass durch zwei ähnliche Matrizen A,B [mm]\in \IR^{nxn}[/mm]
> eine Äquivalenzrelation definiert ist.
Du willst also zeigen, dass $A$~$B [mm] \gdw B=S^{-1}AS$ [/mm] für ein entsprechendes S eine Äquivalenzrelation ist.
> Reflexivität:
> ZZ: [mm]\forall A\in \IR^{nxn}: \exists T\in[/mm] GL(n, [mm]\IR^{nxn}):[/mm]
> A = [mm]T^{-1}AT[/mm]
>
> Sei T die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
> A = [mm]T^{-1}AT[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Symmetrie:
> ZZ: [mm]\forall A,B\in \IR^{nxn}: \exists S\in[/mm] GL(n,
> [mm]\IR^{nxn}):[/mm] B = [mm]S^{-1}AS[/mm]
> => [mm]\exists T\in[/mm] GL(n, [mm]\IR^{nxn}):[/mm] A = [mm]T^{-1}BT[/mm]
>
> Seien S,T die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
Das kannst du so nicht machen. Voraussetzung ist ja, dass es ein S gibt, so dass [mm] B=S^{-1}AS, [/mm] und dort steht nirgendwo, dass S die Einheitsmatrix ist. Und das ist normalerweise auch nicht so. Das heißt, du musst für ein allgemeines S ein T finden, so dass dann gilt: [mm] A=T^{-1}BT.
[/mm]
Das ist aber auch recht einfach, denn wenn du [mm] T=S^{-1} [/mm] setzt, erhältst du aus der Ausgangsgleichung [mm] B=S^{-1}AS:
[/mm]
[mm] B=TAT^{-1}
[/mm]
wenn du jetzt von links mit [mm] T^{-1} [/mm] und von rechts mit T multiplizierst, erhältst du: [mm] T^{-1}BT=A, [/mm] also genau das, was du haben willst. 
> Transitivität:
> ZZ: [mm]\forall A,B,C\in \IR^{nxn}: \exists S\in[/mm] GL(n,
> [mm]\IR^{nxn}):[/mm] B = [mm]S^{-1}AS \wedge \exists T\in[/mm] GL(n,
> [mm]\IR^{nxn}):[/mm] A = [mm]T^{-1}CT[/mm]
> => [mm]\exists U\in[/mm] GL(n, [mm]\IR^{nxn}):[/mm] B = [mm]T^{-1}CT[/mm]
>
> Seien S,T,U die Einheitsmatrix E. Dann gilt:
Hier das gleiche: du darfst nicht voraussetzen, dass S, T und U die Einheitsmatrix sind, sondern musst es allgemein zeigen. Versuchst du es noch einmal?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 21.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Bastiane,
ersteinmal vielen Dank für die Korrektur!
Zur Symmetrie habe ich nun:
Symmetrie:
ZZ: [mm] \forall A,B\in \IR^{nxn}: \exists S\in GL(n,\IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] S^{-1}AS [/mm] $
=> [mm] \exists T\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] A = [mm] T^{-1}BT [/mm]
Sei [mm] T=S^{-1}. [/mm] Dann gilt:
B = [mm] TAT^{-1}
[/mm]
<=> [mm] T^{-1}B [/mm] = [mm] T^{-1}TAT^{-1}
[/mm]
<=> [mm] T^{-1}BT [/mm] = [mm] T^{-1}TAT^{-1}T
[/mm]
<=> [mm] T^{-1}BT [/mm] = A
<=> [mm] A=T^{-1}BT
[/mm]
Ich habe dazu auch noch eine Frage: Warum wählt man [mm] T=S^{-1} [/mm] und nicht T=S?
Aber bei der Transitivität komme ich so leider nicht weiter:
ZZ: [mm] \forall A,B,C\in \IR^{nxn}: \exists S\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] S^{-1}AS \wedge \exists T\in GL(n,\IR^{nxn}): [/mm] A = [mm] T^{-1}CT [/mm] => [mm] \exists U\in [/mm] GL(n, [mm] \IR^{nxn}): [/mm] B = [mm] T^{-1}CT
[/mm]
Angenommen ich wähle ebenfalls [mm] T=S^{-1}. [/mm] Dann erhalte ich:
B = [mm] S^{-1}AS
[/mm]
<=> B = [mm] TAT^{-1}
[/mm]
wegen A = [mm] T^{-1}CT [/mm] gilt:
<=> B = [mm] TT^{-1}CTT^{-1}
[/mm]
<=> B = C
und ich will ja auf B = [mm] T^{-1}CT [/mm] kommen.
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Fr 21.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo Bastiane,
>
> ersteinmal vielen Dank für die Korrektur!
>
>
> Zur Symmetrie habe ich nun:
> Symmetrie:
> ZZ: [mm]\forall A,B\in \IR^{nxn}: \exists S\in GL(n,\IR^{nxn}):[/mm]
> B = [mm]S^{-1}AS[/mm] $
> => [mm]\exists T\in[/mm] GL(n, [mm]\IR^{nxn}):[/mm] A = [mm]T^{-1}BT[/mm]
>
> Sei [mm]T=S^{-1}.[/mm] Dann gilt:
> B = [mm]TAT^{-1}[/mm]
> <=> [mm]T^{-1}B[/mm] = [mm]T^{-1}TAT^{-1}[/mm]
> <=> [mm]T^{-1}BT[/mm] = [mm]T^{-1}TAT^{-1}T[/mm]
> <=> [mm]T^{-1}BT[/mm] = A
> <=> [mm]A=T^{-1}BT[/mm]
>
>
Zeigen soll man Folgendes:
[mm] A=S^{-1}BS \Rightarrow B=T^{-1}AT [/mm] für S, T [mm] \in [/mm] GL.
Beweis: [mm] A=S^{-1}BS \gdw [/mm] SA=BS [mm] \gdw SAS^{-1}=B
[/mm]
> Ich habe dazu auch noch eine Frage: Warum wählt man
> [mm]T=S^{-1}[/mm] und nicht T=S?
Jetzt will man das formgerecht machen und die invertierte Matrix auf der linken Seite haben, deswegen setzt man [mm] T:=S^{-1} [/mm] und hat:
[mm] B=SAS^{-1}=T^{-1}AT
[/mm]
> Aber bei der Transitivität komme ich so leider nicht
> weiter:
> ZZ: [mm]\forall A,B,C\in \IR^{nxn}: \exists S\in[/mm] GL(n,
> [mm]\IR^{nxn}):[/mm] B = [mm]S^{-1}AS \wedge \exists T\in GL(n,\IR^{nxn}):[/mm]
> A = [mm]T^{-1}CT[/mm] => [mm]\exists U\in[/mm] GL(n, [mm]\IR^{nxn}):[/mm] B =
> [mm]T^{-1}CT[/mm]
Mensch, je weniger Quantoren, desto besser. Zu zeigen ist:
[mm] A=S^{-1}BS [/mm] und [mm] B=T^{-1}CT \Rightarrow A=U^{-1}CU [/mm] für S, T, U [mm] \in [/mm] GL.
> Angenommen ich wähle ebenfalls [mm]T=S^{-1}.[/mm] Dann erhalte ich:
Wählen ist schlecht. Konstruieren ist besser. Man will U aus S und T erhalten.
> B = [mm]S^{-1}AS[/mm]
> <=> B = [mm]TAT^{-1}[/mm]
> wegen A = [mm]T^{-1}CT[/mm] gilt:
> <=> B = [mm]TT^{-1}CTT^{-1}[/mm]
> <=> B = C
Naja, mit [mm] T=S^{-1} [/mm] ist das keine große Überraschung.
> und ich will ja auf B = [mm]T^{-1}CT[/mm] kommen.
Nein, das willst du nicht. Du sollst zeigen, dass A zu C symmetrisch ist. Dass B zu C symmetrisch ist, ist Voraussetzung.
Voraussetzung: [mm] A=S^{-1}BS [/mm] und [mm] B=T^{-1}CT. [/mm]
Z.z.: [mm] \exists U\in [/mm] GL: [mm] A=U^{-1}CU.
[/mm]
[mm] A=S^{-1}BS \gdw SAS^{-1}=B [/mm] und aus [mm] B=T^{-1}CT [/mm]
[mm] \Rightarrow SAS^{-1}=T^{-1}CT \gdw A=S^{-1}T^{-1}CTS.
[/mm]
Setze U:=TS und beweise, dass [mm] S^{-1}T^{-1}=U^{-1}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Fr 21.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr zwei,
ich möchte mich für eure Hilfe bedanken
Liebe Grüße
Elefanti
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