Ähnlichkeit und Klassen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mi 11.05.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] K=\IF_{2}$
[/mm]
a) Zeige, dass [mm] $\vektor{0&1\\1&0} \not\approx \vektor{p&0\\0&q}$ [/mm] in [mm] $M_{K}(2)$
[/mm]
b) zeige, dass es genau vier Äquivalenzklassen von symmetrischen Matrizen in
[mm] $M_{K}(2)$ [/mm] |
Hallo,
a)
Die Determinante ist nicht gleich, das charakteristische Polynom ist nicht gleich und die Spur auch nicht. Daraus folgt die Unähnlichkeit.
Wären die Matrizen ähnlich , dann gäbe es ein T so dass [mm] $\vektor{0&1\\1&0}=T^{-1}\vektor{p&0\\0&q}T$
[/mm]
[mm] $A:=\vektor{0&1\\1&0}$
[/mm]
[mm] $B:=\vektor{p&0\\0&q}$
[/mm]
[mm] $T:=\vektor{a&b\\c&d}$
[/mm]
Daraus folgt das Gleichungssystem :
[mm] $BT-TA=\vektor{c-pa&d-pb\\a-qc&b-qd}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \vektor{1& \frac{d-pb}{c-pa}\\0 & b-qd-\frac{d-pb}{c-pa}(a-qc)}$
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter.
b) symmetrisch heisst eine Matrix wenn für ihre Einträge gilt [mm] $a_{ij}=a_{ji}$.
[/mm]
Die symmetrischen Ähnlichkeitsäquivalenzklassen in [mm] $M_{K}(2)$ [/mm] sind:
[mm] $\vektor{0&0\\0&0}, \vektor{1&0\\0&1}, \vektor{1&0\\0&0}, \vektor{1&1\\1&1}$
[/mm]
Wie kann ich das beweisen???
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
> Sei [mm]K=\IF_{2}$[/mm]
>
> a) Zeige, dass [mm]\vektor{0&1\\
1&0} \not\approx \vektor{p&0\\
0&q}[/mm]
> in [mm]M_{K}(2)[/mm]
>
> b) zeige, dass es genau vier Äquivalenzklassen von
> symmetrischen Matrizen in
> [mm]M_{K}(2)[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> a)
> Die Determinante ist nicht gleich, das charakteristische
> Polynom ist nicht gleich und die Spur auch nicht.
> Daraus
> folgt die Unähnlichkeit.
Hallo,
für p=q=1 ist aber all das, was Du sagst, gleich,
Du kannst so also für diesen Fall nicht auf Nichtähnlichkeit schließen,
für die anderen wohl.
Für die anderen Fälle ist dann nichts mehr zu zeigen.
>
> Wären die Matrizen ähnlich , dann gäbe es ein T so dass
> [mm]\vektor{0&1\\
1&0}=T^{-1}\vektor{p&0\\
0&q}T[/mm]
So könntest Du den verbleibenden Fall untersuchen, und da Du für p und q hier was konkretes hast, ist es sehr einfach.
>
> [mm]A:=\vektor{0&1\\
1&0}[/mm]
> [mm]B:=\vektor{p&0\\
0&q}[/mm]
> [mm]T:=\vektor{a&b\\
c&d}[/mm]
>
> Daraus folgt das Gleichungssystem :
>
> [mm]BT-TA=\vektor{c-pa&d-pb\\
a-qc&b-qd}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{1& \frac{d-pb}{c-pa}\\
0 & b-qd-\frac{d-pb}{c-pa}(a-qc)}[/mm]
Vorsicht mit Divisionen bzw. Inversen! Du kannst das nur machen, wenn Du sicher sein kannst, daß das zu invertierende Element nicht =0 ist.
>
> Hier komme ich nicht weiter.
>
>
> b) symmetrisch heisst eine Matrix wenn für ihre Einträge
> gilt [mm]a_{ij}=a_{ji}[/mm].
>
> Die symmetrischen Ähnlichkeitsäquivalenzklassen in
> [mm]M_{K}(2)[/mm] sind:
>
> [mm]\vektor{0&0\\
0&0}, \vektor{1&0\\
0&1}, \vektor{1&0\\
0&0}, \vektor{1&1\\
1&1}[/mm]
>
> Wie kann ich das beweisen???
Hierzu hatte ich in meiner anderen Antwort schon einen möglichen Weg genannt.
Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
> Danke und Gruss
> kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Korrektur und Tipps
Danke.
Wie zeige ich das mit den Klasen wenn die Matrizenanzahl unüberschaubar wird? Also wie bestimmt man die Ähnlichkeitsäquivalenzklassen
von symmetrischen Matrizen in [mm] $M_{K}(4)$ [/mm] mit [mm] $K=\IF_{5}$ [/mm] ?
> GruB
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 14.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Sa 14.05.2011 | | Autor: | kushkush |
verlängerung
|
|
|
| |
|
> Also wie bestimmt man die
> Ähnlichkeitsäquivalenzklassen
> von symmetrischen Matrizen in [mm]M_{K}(4)[/mm] mit [mm]K=\IF_{5}[/mm] ?
Hallo,
ist Dir diese Aufgabe gestellt?
Oder willst Du nur wissen, was wäre, wenn.
Würd' mich interessieren.
Ich habe den Eindruck, ziemlich wenig über symmetrische Matrizen mit Einträgen, die nicht aus [mm] \IR [/mm] sind, zu wissen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 14.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> wer wie
2.teres!
> Mit einträgen die nicht aus [mm] $\IR$
[/mm]
wieso???
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
> 2.teres!
Beruhigend.
>
>
> > Mit einträgen die nicht aus [mm]\IR[/mm]
>
> wieso???
Weil $ [mm] \IF_{5} $\not= \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
