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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mi 30.01.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Seien C = [mm] \pmat{ -4 & -2 \\ 15 & 7 } [/mm] und B = [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ -12 & 5 } \in M_{2}(\IR). [/mm] Zeigen oder widerlegen Sie, dass C und B ähnlich sind und geben Sie im Falle der Ähnlichkeit eine Matrix S an, sodass
B = [mm] SCS^{-1}
[/mm]
gilt. |
Wie bestimme ich die Matrix S? Jordansche Normalform hatten wir noch nicht, sind gerade bei Eigenwerte und charakteristischem Polynom.
Die charakteristischen Polynome sind gleich.
Das charakteristische Polynom ist:
[mm] P_{B} [/mm] = [mm] P_{C} [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] - 3 [mm] \lambda [/mm] + 2
Doch wie komme ich auf die Matrix S? Wenn ich die Eigenvektoren von C bestimme, und daraus eine Matrix bilde (nennen wir sie T), dann komme ich ja auf die Diagonalmatrix D = [mm] TCT^{-1}
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
damit hast du's doch !
Du kannst doch D = [mm] TCT^{-1} [/mm] und entsprechend D = [mm] RBR^{-1} [/mm] gleichsetzen und nach B auflösen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 30.01.2013 | | Autor: | locke123 |
Also ich habe nun:
Sei [mm] D_{C} [/mm] die Diagonalmatrix von C und [mm] D_{B} [/mm] die Diagonalmatrix von B. (Sind ja beide gleich, nur ums deutlicher zu machen)
[mm] D_{C} [/mm] = [mm] T^{-1}CT [/mm] und [mm] D_{B} [/mm] = [mm] R^{-1}BR
[/mm]
Da [mm] D_{C}=D_{B} [/mm] können wir gleichsetzen:
[mm] \Rightarrow T^{-1}CT=R^{-1}BR [/mm] (Rechtsmultiplikation mit [mm] R^{-1})
[/mm]
[mm] \gdw T^{-1}CTR^{-1}=R^{-1}B [/mm] (Linksmultiplikation mit R)
[mm] \gdw RT^{-1}CTR^{-1}=B
[/mm]
[mm] \Rightarrow S=RT^{-1} [/mm] und [mm] S^{-1}=TR^{-1}
[/mm]
Das müsste doch so stimmen oder? Ich habe es mit meinen Werten durchgerechnet und bin leider nicht darauf gekommen, dass [mm] B=SCS^{-1} [/mm] ist ...
Meine Werte:
[mm] D_{C}=D_{B}=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] T=\pmat{ -\bruch{1}{3} & -\bruch{2}{5} \\ 1 & 1 } [/mm] und somit
[mm] T^{-1}=\pmat{ 15 & 6 \\ -15 & 5 }
[/mm]
sowie
[mm] R=\pmat{ \bruch{1}{4} & \bruch{1}{3} \\ 1 & 1 } [/mm] und somit
[mm] R^{-1}=\pmat{ -12 & 4 \\ 12 & -3 }
[/mm]
Wie gesagt, leider komme ich nicht darauf, dass [mm] B=SCS^{-1} [/mm] ist, findet jemand ein Fehler. T und R sollten eigentlich stimmen, auch mit WolframAlpha erfolgreich getestet, Inversen müssten auch stimmen (vgl. mit ArndtBruenner Inversenrechner). Habe ich noch irgendwo ein Denkfehler drin?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
aber vielleicht einen Schreibfehler :
der Eintrag unten rechts bei [mm] T^{-1} [/mm] muss -5 heißen, nicht 5.
Alles andere ist ok.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mi 30.01.2013 | | Autor: | locke123 |
> Hi,
>
> aber vielleicht einen Schreibfehler :
>
> der Eintrag unten rechts bei [mm]T^{-1}[/mm] muss -5 heißen, nicht
> 5.
>
> Alles andere ist ok.
>
> Gruß Sax.
Das war tatsächlich der Fehler! Habe mich in einem Schritt verrechnet und nun den Fehler gefunden, aber wenn man die Aufgabe länger anschaut, verliert man den Überblick. Jetzt hat alles geklappt 
Vielen Dank!
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