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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Di 17.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
| Aufgabe | Mit Startwerten [mm] x_0,x_1 \in \IR [/mm] wird rekursiv definiert: [mm] x_n+1 [/mm] := [mm] \bruch{1}{2}(x_n+x_n-1),n \in \IN
[/mm]
Es gilt: [mm] \pmat{ X_n\\ X_n+1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} } \pmat{ x_n-1 \\ x_n } [/mm] =...= [mm] A^{n} \pmat{x_0 \\ X_1 }, [/mm] A:= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }
[/mm]
also
[mm] x_n= a_n x_0 [/mm] + [mm] b_n x_1, [/mm] wenn [mm] A^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ a_n & b_n \\ \* & \* }
[/mm]
Zur Berechnung der Zahlenfolge [mm] (x_n)_n [/mm] genügt es also, die Potenzen [mm] A^{n} [/mm] zu berechnen. Die ist leicht, falls A zu einer Diagonalmatrix D = [mm] \pmat{ \* & 0 \\ 0 & \* } [/mm] ähnlich ist, d.h. [mm] T^{-1}AT [/mm] = D für ein T [mm] \in [/mm] GL [mm] (2,\IR)gilt. [/mm] Wie man zu solchen Matrizen D und T kommt, wird demnächst durch die Eigenwerttheorie klar - ich gebe Ihnen hier einfach T = [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 1 } [/mm] und sie berechnen damit D = [mm] T^{-1}AT, [/mm] die Potenzen [mm] D^{n} [/mm] und [mm] A^{n} [/mm] = [mm] TDT^{-1}TDT^{-1}...TDT^{-1}
[/mm]
Ergebnis [mm] a_n=? b_n=?, \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = ? (Im Unterschied zu den klassischen Fibonacci-Zahlen, die man analog berechnen kann, konvergiert unsere Zahlenfolge [mm] (x_n)_n [/mm] gegen eine reelle Zahl.) |
Wollt mal fragen ob mein Gedankengang zur Lösung richtig ist:
Also ich berechne nun erstmal D. T und A sind ja gegeben. [mm] T^{-1} [/mm] müsste ich ja einfach bekommen.
Berechne ich dann [mm] D^{n} [/mm] einfach indem ich [mm] D^{2} [/mm] nehme, weil wir n=2 haben? Und genauso bei [mm] A^{n}?
[/mm]
Seh ich dann was mit dem Limes passiert? Kann mir das mit dem Grenzwert nun gerade noch nicht so vorstellen.
Aber ich rechne am besten erstmal etwas :)
MfG Amiaz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Di 17.01.2012 | | Autor: | Amiaz |
Habe nun für [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3}}
[/mm]
Damit ließ sich nun die Diagonalmatrix D berechnen.
Dafür habe ich: D = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -\bruch{3}{6} }
[/mm]
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> Mit Startwerten [mm]x_0,x_1 \in \IR[/mm] wird rekursiv definiert:
> [mm]x_n+1[/mm] := [mm]\bruch{1}{2}(x_n+x_n-1),n \in \IN[/mm]
> Es gilt: [mm]\pmat{ X_n\\
X_n+1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} } \pmat{ x_n-1 \\
x_n }[/mm]
> =...= [mm]A^{n} \pmat{x_0 \\
X_1 },[/mm] A:= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> also
> [mm]x_n= a_n x_0[/mm] + [mm]b_n x_1,[/mm] wenn [mm]A^{n}[/mm] = [mm]\pmat{ a_n & b_n \\
\* & \* }[/mm]
>
> Zur Berechnung der Zahlenfolge [mm](x_n)_n[/mm] genügt es also, die
> Potenzen [mm]A^{n}[/mm] zu berechnen. Die ist leicht, falls A zu
> einer Diagonalmatrix D = [mm]\pmat{ \* & 0 \\
0 & \* }[/mm] ähnlich
> ist, d.h. [mm]T^{-1}AT[/mm] = D für ein T [mm]\in[/mm] GL [mm](2,\IR)gilt.[/mm] Wie
> man zu solchen Matrizen D und T kommt, wird demnächst
> durch die Eigenwerttheorie klar - ich gebe Ihnen hier
> einfach T = [mm]\pmat{ 1 & -2 \\
1 & 1 }[/mm] und sie berechnen
> damit D = [mm]T^{-1}AT,[/mm] die Potenzen [mm]D^{n}[/mm] und [mm]A^{n}[/mm] =
(*) [mm]TDT^{-1}TDT^{-1}...TDT^{-1}[/mm]
> Ergebnis [mm]a_n=? b_n=?, \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = ? (Im
> Unterschied zu den klassischen Fibonacci-Zahlen, die man
> analog berechnen kann, konvergiert unsere Zahlenfolge
> [mm](x_n)_n[/mm] gegen eine reelle Zahl.)
> Wollt mal fragen ob mein Gedankengang zur Lösung richtig
> ist:
> Also ich berechne nun erstmal D. T und A sind ja gegeben.
> [mm]T^{-1}[/mm] müsste ich ja einfach bekommen.
> Berechne ich dann [mm]D^{n}[/mm] einfach indem ich [mm]D^{2}[/mm] nehme,
> weil wir n=2 haben?
Ja.
> Und genauso bei [mm]A^n[/mm]
Du brauchst aber nicht [mm]A^n[/mm] direkt ausrechnen. Über (*) bekommst du eine einfachere Möglichkeit [mm]A^n[/mm] durch Potenzieren und 2 Matrixmultiplikationen auszurechnen
Schritte:
- du solltest dir Gedanken machen, wie man den Ausdruck [mm]TDT^{-1}TDT^{-1}...TDT^{-1}[/mm] geschickt umklammert, damit vieles wegfällt
- wie sieht generell [mm]D^m[/mm] aus, wenn D eine Diagonalmatrix ist
> Seh ich dann was mit dem Limes passiert? Kann mir das mit
> dem Grenzwert nun gerade noch nicht so vorstellen.
> Aber ich rechne am besten erstmal etwas :)
[mm]\lim_{m\to\infty}D^m=:C[/mm] mit [mm]d_{ij}^m\to c_{ij}\quad \forall i,j[/mm] (sofern der Grenzwert existiert)
Genauso bei [mm]A^n[/mm] wenn man den Grenzübergang bei [mm]n[/mm] zu [mm]\infinity[/mm] betrachtet so sollte jeder Eintrag einzeiln konvergieren
Bsp:
[mm]\pmat{1/2&0\\
0&0}^n\to\pmat{0&0\\
0&0}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> MfG Amiaz
>
manch einmal seh ich doppelt:
https://matheraum.de/read?t=856706
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